Đáp án B.

Gọi u 1  là số hạng đầu và q là công bội của cấp số nhân u n .

Từ giả thiết ta có: 

u 4 − u 2 = 54 u 5 − u 3 = 108 ⇔ u 1 . q 3 − u 1 . q = 54 u 1 . q 4 − u 1 . q 2 = 108 ⇔ u 1 . q q 2 − 1 = 54 u 1 . q 2 q 2 − 1 = 108

⇔ u 1 . q q 2 − 1 = 54 54 q = 108 ⇔ u 1 .2. 2 2 − 1 = 54 q = 2 ⇔ u 1 = 9 q = 2

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_3=3\\\left(u_1+u_3\right)^2-2u_1u_3=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_3=3\\u_1u_3=2\end{matrix}\right.\)

Theo Viet đảo, \(u_1\) và \(u_3\) là nghiệm: \(t^2-3t+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=2\end{matrix}\right.\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_3=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_1.q^2=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\q=\pm\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_3=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_1q^2=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\q=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\)

Theo đề, ta có: \(S_n=3003\)

=>\(n\cdot\dfrac{\left[2u1+\left(n-1\right)\cdot d\right]}{2}=3003\)

=>\(\dfrac{n\left[2+\left(n-1\right)\right]}{2}=3003\)

=>n(n+1)=6006

=>n^2+n-6006=0

=>(n-77)(n+78)=0

=>n=77(nhận) hoặc n=-78(loại)

Vậy: n=77

a) Cấp số nhân có \({u_1} = 1,\;\;q = \;4\)

Số hạng tổng quát: \({u_n} = {4^{n - 1}}\)

Số hạng thứ 5: \({u_5} = {4^{5 - 1}} = 256\)

Số hạng thứ 100: \({u_{100}} = {4^{100 - 1}} =  {4^{99}}\).

b) Cấp số nhân có \({u_1} = 2,\;q =  - \frac{1}{4}\)

Số hạng tổng quát: \({u_n} = 2 \times {\left( { - \frac{1}{4}} \right)^{n - 1}}\)

Số hạng thứ 5: \({u_5} = 2 \times {\left( { - \frac{1}{4}} \right)^{5 - 1}} = \frac{1}{{128}}\)

Số hạng thứ 100: \({u_{100}} = 2 \times {\left( { - \frac{1}{4}} \right)^{100 - 1}} = \frac{ -1}{{2^{197}}}\)

Số hạng đầu của khai triển là u1 = u(1) = 13 = 1.

Số hạng cuối của khai triển là u5 = u(5) = 53 = 125.

Dãy số được viết dưới dạng khai triển là: 1; 8; 27; 64; 125.