Cho tam giác HPG có 3 trung tuyến HM,PA,GB cắt nhau tại T . Biết TH = 3 cm,TP=TG=4 cm                               a, Tính HM,PA,GB.                                 b, Chứng minh tam giác HPG cân

mk pit làm phần a thui

vì AG=2GM 

+) AG=4 cm

=>4=2GM

=> MG=4:2=2 (cm)

+)gm+ag=am

+)mg=2 cm

+) ag=9cm

=>2+9=am

=> am=11 cm

tính độ dài đoạn cp và bn tương tự như trên

cảm ơn rất nhiều ạ

Xét ΔABC có AM là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{AM}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

Xét ΔABC có BN là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{BN}=\frac12\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)\)

Xét ΔCAB có CP là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{CP}=\frac12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\)

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}\)

\(=\frac12\cdot\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)=\overrightarrow{0}\)

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}=-\overrightarrow{CP}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}\right|=\left|\overrightarrow{CP}\right|=CP\)

mà \(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}\right|\le\left|\overrightarrow{AM}\right|+\left|\overrightarrow{BN}\right|=AM+BN\)

nên CP<=AM+BN(1)

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CP}=-\overrightarrow{BN}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CP}\right|=\left|\overrightarrow{BN}\right|=BN\)

mà \(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CP}\right|\le\left|\overrightarrow{AM}\right|+\left|\overrightarrow{CP}\right|=AM+CP\)

nên BN<=AM+CP(2)

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=-\overrightarrow{AM}\)

=>\(\left|\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}\right|=\left|\overrightarrow{AM}\right|=AM\)

mà \(\left|\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}\right|\le\left|\overrightarrow{BN}\right|+\left|\overrightarrow{CP}\right|=BN+CP\)

nên AM<=BN+CP(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra AM,BN,CP là độ dài ba cạnh của một tam giác

Vì G là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(BG = \dfrac{2}{3}BN,CG = \dfrac{2}{3}CP\)

Ta có: \(GN = BN – BG = BN - \dfrac{2}{3}BN = \dfrac{1}{3}BN;\\ GP = CP – CG = CP - \dfrac{2}{3}CP = \dfrac{1}{3}CP\)

Do đó, \(BN = 3. GN ; CP = 3. GP\)

Như vậy, \(BG = \dfrac{2}{3}BN = \dfrac{2}{3}.3.GN = 2GN;\\CG = \dfrac{2}{3}CP = \dfrac{2}{3}.3.GP = 2GP\)

Vậy \(BG = \dfrac{2}{3}BN,CG = \dfrac{2}{3}CP\);

\(BG = 2GN; CG = 2GP\).

câu 2 : 

a) có phải là chứng minh AM ⊥ BC không

xét ΔAMB và ΔAMC, ta có : 

AB = AC (2 cạnh bên của ΔABC cân tại A)

MB = MC (AM là đường trung tuyến của cạnh BC)

AM là cạnh chung

=> ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)

=> \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) (2 cạnh tương ứng)

mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^O\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^O}{2}=90^O\)

=> AM ⊥ BC