Đáp án C

Gọi H là trung điểm AC. Ta có tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC)

suy ra  S H ⊥ A B C

Ta có

  S B , A B C = S B H ^ = 45 o ⇒ S H = B H = 1 2 A C = a 2 2 V S . A B C   = 1 3 . a 2 2 . 1 2 a 2 = a 3 2 12

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB=BC=a$

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot BC=\dfrac12 a\cdot a=\dfrac{a^2}{2}$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

Do tam giác $SAC$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên: $H\in AC$

Xét tam giác vuông $SBH$ tại $H$.

Vì góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:

$\widehat{SBH}=45^\circ$

=> $\tan45^\circ=\dfrac{SH}{BH}$

$\Rightarrow SH=BH$

Trong tam giác vuông cân $ABC$ tại $B$ ta có: $AC=a\sqrt{2}$

Vì $H\in AC$ và tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $H$ là trung điểm của $AC$.

Do đó: $BH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$

=> $SH=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Thể tích khối chóp

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt{2}} =\dfrac{a^3}{6\sqrt{2}} =\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Đáp án C

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB=BC=a$

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot BC=\dfrac12 a\cdot a=\dfrac{a^2}{2}$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

Vì mặt phẳng $(SAC)\perp(ABC)$ nên $H\in AC$.

Do tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $H$ là trung điểm của $AC$.

Trong tam giác vuông cân $ABC$ tại $B$: $AC=a\sqrt2$

=> $BH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt2}{2}=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Xét tam giác vuông $SBH$ tại $H$.

Góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:

$\tan45^\circ=\dfrac{SH}{BH}$

$\Rightarrow SH=BH=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Thể tích khối chóp

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2} =\dfrac{a^3}{6\sqrt2} =\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$

Chọn D

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên:

$AB = AC = a \Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}a^2$.

Vì $(SAB)\perp(ABC)$ và tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

Gọi $SH$ là chiều cao của khối chóp.

Xét mặt phẳng $(SAC)$ và $(ABC)$, góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa $SH$ và hình chiếu của nó lên $(SAC)$.

Ta có: $\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{AH}$.

Trong tam giác vuông cân $ABC$:

$AH = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a}{2}$.

Suy ra: $\sqrt3 = \dfrac{SH}{\dfrac{a}{2}} \Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH= \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}= \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$.

Chọn đáp án D.

Chọn B

Vì mặt phẳng $(SBC) \perp (ABC)$ nên $SB \perp (ABC)$.

Do đó $SB \perp AB$, $SB \perp BC$.

Ta có: $SB = a$ và $BC = a$
=> tam giác $SBC$ vuông tại $B$.

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $SBC$:

$SC^2 = SB^2 + BC^2$

$SC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$\Rightarrow SC = a\sqrt{2}$

Đáp án là C

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = a \Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}a^2$.

Vì $(SAC)\perp(ABC)$ nên hình chiếu $H$ của $S$ lên $(ABC)$ thuộc $AC$.

Tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $SH \perp AC$ tại trung điểm $H$ của $AC$.

Suy ra: $AC = a\sqrt2 \Rightarrow AH = HC = \dfrac{a\sqrt2}{2}$.

Trong tam giác vuông cân $ABC$:

$BH = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt2}{2}$.

Xét góc giữa $SB$ và $(ABC)$:

$\tan 45^\circ = \dfrac{SH}{BH} \Rightarrow 1 = \dfrac{SH}{\dfrac{a\sqrt2}{2}} \Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt2}{2}$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH= \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{a\sqrt2}{2}= \dfrac{a^3\sqrt2}{12}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3\sqrt2}{12}$.

Chọn đáp án C.

Đáp án C

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên:

$AB=BC=a$

Diện tích đáy:

$S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot BC=\dfrac12 a\cdot a=\dfrac{a^2}{2}$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

Do mặt phẳng $(SAC)\perp(ABC)$ nên $H\in AC$.

Vì tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $H$ là trung điểm của $AC$.

Trong tam giác vuông cân $ABC$ tại $B$: $AC=a\sqrt2$

=> $BH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt2}{2}=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Xét tam giác vuông $SBH$ tại $H$.

Góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:

$\tan45^\circ=\dfrac{SH}{BH}$

$\Rightarrow SH=BH=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Thể tích khối chóp là:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2} =\dfrac{a^3}{6\sqrt2} =\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên:

$AB = AC = a \Rightarrow BC = a\sqrt2$.

Diện tích đáy: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}a^2$.

Mặt bên $SAB$ là tam giác vuông cân tại $S$ nên:

$SA = SB$ và $AB = SA\sqrt2 \Rightarrow SA = SB = \dfrac{a}{\sqrt2}$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì: $SM \perp AB$ và $SM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{a}{2}$.

Vì $(SAB)\perp(ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp: $V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM = \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3}{12}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3}{12}$.

Chọn đáp án A.

Đáp án A

Gọi H là trung điểm của AB suy ra  S H ⊥ A B

Do Δ S A B  vuông cân tại S nên  S H = A B 2 = a 2 ; S A B C = a 2 2 ⇒ V = a 3 12 .

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên:

$AB = AC = a \Rightarrow BC = a\sqrt2$.

Diện tích đáy: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}a^2$.

Mặt bên $SAB$ là tam giác vuông cân tại $S$ nên:

$SA = SB$ và $AB = SA\sqrt2 \Rightarrow SA = SB = \dfrac{a}{\sqrt2}$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì:

$SM \perp AB$ và $SM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{a}{2}$.

Vì $(SAB)\perp(ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM = \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3}{12}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3}{12}$.

Chọn đáp án A.