Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
Ta sẽ chứng minh BĐT sau: \(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}\ge\dfrac{10}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Do vai trò a;b;c như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a;b;c\right\}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=a+\dfrac{c}{2}\\y=b+\dfrac{c}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y=a+b+c\)
Đồng thời \(b^2+c^2=\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2+\dfrac{c\left(3c-4b\right)}{4}\le\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2=y^2\)
Tương tự: \(a^2+c^2\le x^2\) ; \(a^2+b^2\le x^2+y^2\)
Do đó: \(A\ge\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{10}{\left(x+y\right)^2}\)
Mà \(\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}\le\dfrac{1}{4xy}\) nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{5}{2xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{2}{xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}-\dfrac{1}{2xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}-\dfrac{\left(x-y\right)^2}{2xy\left(x^2+y^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2\left(2x^2+2y^2-xy\right)}{2x^2y^2}\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(A\ge\dfrac{10}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\dfrac{10}{3^2}=\dfrac{10}{9}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};0\right)\) và các hoán vị của chúng
2.
Ta có: \(B=\dfrac{ab+1-1}{1+ab}+\dfrac{bc+1-1}{1+bc}+\dfrac{ca+1-1}{1+ca}\)
\(B=3-\left(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+ca}+\dfrac{1}{1+ab}\right)\)
Đặt \(C=\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca}\)
Ta có: \(C\ge\dfrac{9}{3+ab+bc+ca}\ge\dfrac{9}{3+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{27}{13}\)
\(\Rightarrow B\le3-\dfrac{27}{13}=\dfrac{12}{13}\)
\(B_{max}=\dfrac{12}{13}\) khi \(a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
Do \(a;b;c\in\left[0;1\right]\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)
\(\Leftrightarrow ab+c+1\ge a+b+c=2\)
\(\Rightarrow abc+ab+c+1\ge ab+c+1\ge2\)
\(\Rightarrow\left(c+1\right)\left(ab+1\right)\ge2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{ab+1}\le\dfrac{c+1}{2}\)
Hoàn toàn tương tự, ta có:
\(\dfrac{1}{bc+1}\le\dfrac{a+1}{2}\) ; \(\dfrac{1}{ca+1}\le\dfrac{b+1}{2}\)
Cộng vế: \(C\le\dfrac{a+b+c+3}{2}=\dfrac{5}{2}\)
\(\Rightarrow B\ge3-\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}\)
\(B_{min}=\dfrac{1}{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;1\right)\) và các hoán vị của chúng
b: (3x-2)^5+(5-x)^5+(-2x-3)^5=0
Đặt a=3x-2; b=-2x-3
Pt sẽ trở thành:
a^5+b^5-(a+b)^5=0
=>a^5+b^5-(a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5)=0
=>-5a^4b-10a^3b^2-10a^2b^3-5ab^4=0
=>-5a^4b-5ab^4-10a^3b^2-10a^2b^3=0
=>-5ab(a^3+b^3)-10a^2b^2(a+b)=0
=>-5ab(a+b)(a^2-ab+b^2)-10a^2b^2(a+b)=0
=>-5ab(a+b)(a^2-ab+b^2+2ab)=0
=>-5ab(a+b)(a^2+b^2+ab)=0
=>ab(a+b)=0
=>(3x-2)(-2x-3)(5-x)=0
=>\(x\in\left\{\dfrac{2}{3};-\dfrac{3}{2};5\right\}\)
Chọn A