Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 3a,\ AD = a$ nên:

$AC = \sqrt{(3a)^2 + a^2} = a\sqrt{10}$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $3a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:

$S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $H$ của $AB$.

Suy ra: $AH = HB = \dfrac{3a}{2},\quad SH = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot 3a = \dfrac{3a\sqrt3}{2}$.

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do đối xứng $O \in SH$.

Đặt $OH = x \Rightarrow OS = x + \dfrac{3a\sqrt3}{2} = R$.

Ta có: $OA^2 = OH^2 + AH^2 + AD^2= x^2 + \left(\dfrac{3a}{2}\right)^2 + a^2= x^2 + \dfrac{9a^2}{4} + a^2= x^2 + \dfrac{13a^2}{4}$.

Mặt khác: $OS^2 = \left(x + \dfrac{3a\sqrt3}{2}\right)^2$.

Vì $OA = OS$ nên: $x^2 + \dfrac{13a^2}{4}= \left(x + \dfrac{3a\sqrt3}{2}\right)^2$.

Giải ra: $x = -\dfrac{5a}{2\sqrt3}$.

Suy ra: $R = x + \dfrac{3a\sqrt3}{2}= -\dfrac{5a}{2\sqrt3} + \dfrac{3a\sqrt3}{2}= \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.

Diện tích mặt cầu:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \dfrac{4a^2 \cdot 3}{9}= \dfrac{16\pi a^2}{3}$.

Vậy $S = \dfrac{16\pi a^2}{3}$.

Đáp án A.

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O = A C ∩ B D , H là trung điểm AD.

Gọi I,J lần lượt là trung điểm của BC và G là trọng tâm Δ S A D .

Đường thẳng d qua O và vuông góc với (ABCD) gọi là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy (ABCD).

∆  qua G và vuông góc với (SAD) là trục của đường tròn ngoại tiếp (SAD).

Trong mặt phẳng (SHI), gọi I =  ∆ ∩ d

⇒ J  cách đều các đỉnh của hình chóp

⇒ J  là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD có bán kính

R = J D = O J 2 + O D 2 = G H 2 + O D 2

Có G H = 1 3 S H = 1 3 . a . 3 2 = a 3 6 ;

O D = 1 2 D B = a 5 2 ⇒ R = 3 a 2 56 + 5 a 2 4 = 4 3 a ⇒ S m c = 4 πR 2 = 16 3 a 2

Đáp án A.

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi: H là trung điểm AD.

Gọi I,J lần lượt là trung điểm của BC và G là trọng tâm  ∆ SAD

Đường thẳng d qua O và vuông góc với (ABCD) gọi là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy (ABCd).

∆ qua G và vuông góc với (SAD) là trục của đường tròn ngoại tiếp (SAD).

Trong mặt phẳng (SHI), gọi I =  ∆   ∩ d

=> J cách đều các đỉnh của hình chóp

=> J là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD có bán kính

R = JD = 

Có 

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(2a,a,0)$.

Tam giác $SAD$ đều cạnh $a$ và $(SAD)\perp(ABCD)$ nên:

$S\left(0,\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Do đối xứng theo phương $AB$ nên: $x = a$.

Ta có: $OA = OB = OC = OD = OS$.

Xét: $OA^2 = a^2 + y^2 + z^2$,

$OD^2 = a^2 + (y-a)^2 + z^2$.

Suy ra: $y = \dfrac{a}{2}$.

Tiếp tục: $OA^2 = OC^2 \Rightarrow z = \dfrac{a\sqrt3}{6}$.

Vậy: $O\left(a,\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt3}{6}\right)$.

Bán kính:$ R = OA = \sqrt{a^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt3}{6}\right)^2}= \sqrt{a^2 + \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{12}}= \sqrt{\dfrac{16a^2}{12}}=\dfrac{2a}{\sqrt3}.$

Diện tích mặt cầu: $S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \dfrac{4a^2 \cdot 3}{9}= \dfrac{16\pi a^2}{3}. $

Vậy: $S = \dfrac{16\pi a^2}{3}$.

Chọn đáp án A.

Có đường cao của hình chóp đồng thời là đường cao tam giác đều 

S A B ⇒ h = a 3 3 ⇒ V = a 3 2 . a . 2 a 3 = a 3 3 3

Chọn đáp án B.

Chọn D

Có đường cao của hình chóp đồng thời là đường cao tam giác đều 

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, giả sử $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy qua trung điểm $M$ của $AB$, $M\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Tam giác $SAB$ đều nên $SA = SB = AB = a$

$\Rightarrow SA^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2 \Rightarrow h^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot 2a = 2 a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot \dfrac{a \sqrt{3}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Đáp án là B

Mà  ∆ SAB đều 

Vậy thể tích hình chóp S.ABCD:  =  2 a 3 6 3

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ D(0,a\sqrt2,0),\ C(2a,a\sqrt2,0)$.

Vì tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, giả sử $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy qua trung điểm $M$ của $AB$, $M(a,0,0)$, nên $S(a,0,h)$.

Tam giác $SAB$ đều nên $SA = SB = AB = 2a$

$\Rightarrow SA^2 = (a - 0)^2 + (0 - 0)^2 + h^2 = a^2 + h^2 = (2a)^2 = 4 a^2$

$\Rightarrow h^2 = 3 a^2 \Rightarrow h = a \sqrt{3}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = 2a \cdot a\sqrt2 = 2 a^2 \sqrt2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \sqrt2 \cdot a \sqrt{3} = \dfrac{2 a^3 \sqrt{6}}{3}$

Vậy: $V = \dfrac{2 a^3 \sqrt{6}}{3}$

Chọn B.

Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a,\ AD = 2a$ nên:

$AC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt5$.

Mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:

$S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $M$ của $AB$.

Suy ra: $AM = MB = \dfrac{a}{2}, \quad SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do đối xứng $O$ thuộc đường thẳng $SM$.

Đặt $OM = x \Rightarrow OS = x + \dfrac{\sqrt3}{2}a = R$.

Ta có: $OA^2 = OM^2 + AM^2 = x^2 + \dfrac{a^2}{4}$.

Mặt khác: $OS = R \Rightarrow R^2 = (x + \dfrac{\sqrt3}{2}a)^2$.

Vì $OA = OS$ nên: $x^2 + \dfrac{a^2}{4} = \left(x + \dfrac{\sqrt3}{2}a\right)^2$.

Giải ra: $x = \dfrac{a}{2\sqrt3}$.

Suy ra: $R = x + \dfrac{\sqrt3}{2}a = \dfrac{a}{2\sqrt3} + \dfrac{\sqrt3}{2}a = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.

Vậy $R = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.