3:

x^2-2x+1-m^2<=0

=>(x-1)^2-m^2<=0

=>(x-1)^2<=m^2

=>-m<=x-1<=m

=>-m+1<=x<=m+1

mà x thuộc [-1;2]

nên -m+1>=-1 và m+1<=2

=>-m>=-2 và m<=1

=>m<=2 và m<=1

=>m<=1

Trường hợp 1: m=10

Phương trình sẽ là -40x+6=0

hay x=3/20

=>m=10 sẽ thỏa mãn trường hợp a

Trường hợp 2: m<>10

\(\Delta=\left(-4m\right)^2-4\left(m-10\right)\left(m-4\right)\)

\(=16m^2-4\left(m^2-14m+40\right)\)

\(=16m^2-4m^2+56m-160\)

\(=12m^2+56m-160\)

\(=4\left(3m^2+14m-40\right)\)

\(=4\left(3m^2-6m+20m-40\right)\)

\(=4\left(m-2\right)\left(3m+20\right)\)

a: Để phương trình có nghiệm thì (m-2)(3m+20)>=0

=>m>=2 hoặc m<=-20/3

b: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)\left(3m+20\right)>0\\\dfrac{4m}{m-10}>0\\\dfrac{m-4}{m-10}>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)\left(3m+20\right)>0\\m\in\left(-\infty;0\right)\cup\left(10;+\infty\right)\\m\in\left(-\infty;4\right)\cup\left(10;+\infty\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;-\dfrac{20}{3}\right)\cup\left(10;+\infty\right)\)

Đặt \(x^2=t\) phương trình trở thành:

\(t^2-2\left(m+1\right)t+m-2=0\) (1)

a. Phương trình có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm dương pb

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m-2\right)>0\\t_1+t_2=2\left(m+1\right)>0\\t_1t_2=m-2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+m+3>0\left(\text{luôn đúng}\right)\\m>-1\\m>2\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow m>2\)

b. Do \(\Delta'=m^2+m+3>0;\forall m\) nên pt đã cho vô nghiệm khi (1) có 2 nghiệm pb đều âm

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=2\left(m+1\right)< 0\\t_1t_2=m-2>0\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -1\\m>2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn

c. Pt có đúng 2 nghiệm khi (1) có 2 nghiệm trái dấu

\(\Leftrightarrow t_1t_2=m-2< 0\Rightarrow m< 2\)

1.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta=\left(m+1\right)^2-4m\left(m-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\-3m^2+7m+1< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m< \dfrac{7-\sqrt{61}}{6}\)

2.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\Delta'=4\left(m+1\right)^2-m\left(m-5\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\3m^2+13m+4\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\-4\le m\le-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Không tồn tại m thỏa mãn

a.

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi:

\(ac< 0\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m-4\right)< 0\)

\(\Rightarrow1< m< 4\)

b. 

Phương trình có 2 nghiệm dương khi (ko có chữ phân biệt?):

\(\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne0\\\Delta'=\left(m-3\right)^2-\left(m-1\right)\left(m-4\right)\ge0\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-3\right)}{m-1}>0\\x_1x_2=\dfrac{m-4}{m-1}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\le5\\\left[{}\begin{matrix}m>3\\m< 1\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}m>4\\m< 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 1\\4< m\le5\end{matrix}\right.\)

c.

Phương trình có 2 nghiệm âm khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne0\\\Delta'=\left(m-3\right)^2-\left(m-1\right)\left(m-4\right)\ge0\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-3\right)}{m-1}< 0\\x_1x_2=\dfrac{m-4}{m-1}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\le5\\1< m< 3\\\left[{}\begin{matrix}m>4\\m< 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn

ĐKXĐ: x∉{-2;1}

\(\frac{x^2-2x+1}{x^2+4x+4}-m\cdot\left|\frac{x+2}{x-1}\right|=12\)

=>\(\left(\frac{x-1}{x+2}\right)^2-m\cdot\left|\frac{x+2}{x-1}\right|=12\) (1)

Đặt \(t=\left|\frac{x+2}{x-1}\right|\)

(1) sẽ trở thành: \(\frac{1}{t^2}-m\cdot t=12\)

=>\(1-m\cdot t^3=12t^2\)

=>\(m\cdot t^3=1-12t^2\)

=>\(m = \frac{1 - 12t^2}{t^3} = \frac{1}{t^3} - \frac{12}{t}\)

Đặt \(f(t) = \frac{1}{t^3} - \frac{12}{t}\) (với t∈(0;+∞))

\(f^{\prime}(t)=-\frac{3}{t^4}+\frac{12}{t^2}=\frac{12t^2 - 3}{t^4}\)

Đặt f'(t)=0

=>\(12t^2-3=0\)

=>\(t^2=\frac14\)

=>t=1/2(nhận) hoặc t=-1/2(loại)

\(f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} - \frac{12}{\frac{1}{2}} = 8 - 24 = -16\)

\(f(1) = 1 - 12 = -11\)

\(\lim_{t \to 0^+} f(t) = +\infty\)

\(\lim_{t \to +\infty} f(t) = 0\)

Bảng biến thiên:

Để f(t)=m có hai nghiệm phân biệt và t<>1 thì Đường thẳng y = m phải cắt đồ thị f(t) tại 2 điểm phân biệt thuộc (0; +∞)\{1}

THeo bảng biến thiên, chúng ta thấy: f(t) giảm từ +∞ xuống -16, rồi tăng lên 0. và Đường thẳng y = m cắt nhánh đồ thị 2 lần khi -16 < m < 0.

mà ta cần loại giá trị m tương ứng với t = 1, tức là m<>f(1)=-11

=>-16<m<0 và m<>-11

Xét phương trình hoành độ giao điểm\(x^2\)+4x-m=0 <=> x^2+4x=m, đây là kết hợp của 2 hàm số (P):y=\(x^2\)+4x và (d):y=m.
Khi vẽ đồ thị ta thấy parabol đồng biến trên khoảng (-2;+∞)=> Điểm giao giữa parabol và đồ thị y=m là điểm duy nhất thỏa mãn phương trình có duy nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-3;1).Vậy để phương trình có 1 nghiệm duy nhất <=> delta=0 <=>16+4m=0<=>m=-4.

mình trình bày hơi dài mong bạn thông cảm