Ta có

Do đó hàm số f(x) đồng biến trên R. Với một hàm số f(x) đồng biến trên R ta có tính chất sau:

 Thật vậy

+) Nếu

 (vô lí);

+) Nếu

 (vô lí).

+) Nếu

 (thỏa mãn)/

Từ ba khả năng trên ta có điều phải chứng minh. Áp dụng tính chất này ta có:

Phương trình đã cho có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi (*) có ba nghiệm thực phân biệt

Có tất cả 20 số nguyên thỏa mãn.

Chọn đáp án A.

Đáp án B

Đáp án C

Điều kiện: .

Xét hàm số có ; .

Chia cho ta được: 

Bảng biến thiên và đồ thị:

Đặt .

Phương trình .

Với , từ đồ thị ta thấy phương trình này chỉ cho 1 nghiệm.

Với , từ đồ thị ta thấy phương trình này cho 3 nghiệm.

Với , từ đồ thị ta thấy phương trình này chỉ cho 1 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm phân biệt.

\(f^2\left(\left|x\right|\right)-\left(m-6\right)f\left(\left|x\right|\right)-m+5=0\) có \(a-b+c=0\) nên có các nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}f\left(\left|x\right|\right)=-1\\f\left(\left|x\right|\right)=m-5\end{matrix}\right.\)

- Với \(f\left(\left|x\right|\right)=-1\Rightarrow\left|x\right|^2-4\left|x\right|+3=-1\Rightarrow\left|x\right|=2\Rightarrow x=\pm2\) có 2 nghiệm

- Xét \(f\left(\left|x\right|\right)=m-5\Leftrightarrow\left|x\right|^2-4\left|x\right|+8=m\) (1)

Từ BBT của \(y=\left|x\right|^2-4\left|x\right|+8\) dễ dàng suy ra (1) có 4 nghiệm pb khi \(4< m< 8\)

\(\Rightarrow m=\left\{5;6;7\right\}\) có 3 giá trị nguyên

Đặt t = f ( f ( x ) - 1 ) - 2  phương trình trở thành: 

f ( t ) = 1 ⇔ t 4 - 4 t 2 + 1 = 1 ⇔ t = 0 ; t = ± 2

TH1: Nếu

t = 0 ⇔ f ( f ( x ) - 1 ) - 2 = 0 ⇔ f ( f ( x ) - 1 ) = 2

Đặt a=f(x)-1 phương trình trở thành:

f ( a ) = 2 ⇔ a 4 - 4 a 2 - 1 = 0 ⇔ a = ± 2 + 5

Nhận xét: Xét hàm số y = f ( x ) - 1 = x 4 - 4 x 2  có  y c d = y ( 0 ) = 0 ; y c t = y ± 2 = - 4

Với a ∈ - 4 ; 0  phương trình y = a có bốn nghiệm thực phân biệt. Với a = 0 phương trình y = a có hai nghiệm thực phân biệt. Với a < -4 phương trình y = a vô nghiệm.

Áp dụng cho trường này có 2 + 4 = 6 nghiệm.

TH2: Nếu

t = - 2 ⇔ f ( f ( x ) - 1 ) - 2 = - 2 ⇔ f ( f ( x ) - 1 ) = 0

Đặt a=f(x)-1 phương trình trở thành:

f ( a ) = 0 ⇔ a 4 - 4 a 2 + 1 = 0 ⇔ a = ± 2 + 3

Trường hợp này có 2 + 2 + 4 + 4 = 12 nghiệm.

TH3: Nếu t = 2 ↔ f ( f ( x ) - 1 ) = 4  Đặt a=f(x)-1 phương trình trở thành:

f ( a ) = 4 ⇔ a 4 - a = ± 4 a 2 - 3 = 0 ⇔ a = ± 2 + 7

Trường hợp này có 2 + 4 = 6 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 24 nghiệm thực phân biệt.

Chọn đáp án A.

Đáp án D

Phương pháp:

Đánh giá số nghiệm của phương trình f(x) = m + 1 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m + 1

Cách giải:

Số  nghiệm của phương trình f(x) = m + 1 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x)

và đường thẳng y = m + 1

Để f(x) = m + 1 có 3 nghiệm thực phân biệt thì –2 < m+1 < 4 ó –3 < m < 3

Đặt t=|x|+1

x∈[-2;2]

=>|x|∈[0;2]

=>t∈[1;3]

t=1

=>|x|=0

=>x=0

t∈(1;3]

=>|x|=t-1>0

=>x=t-1 hoặc x=-t+1

=>để phương trình ban đầu có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng [-2;2] thì phương trình ẩn t phải có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (1; 3]

\(f(t) = t^2 - 4t + 3\) có đỉnh là t=2

f(1)=0

f(2)=-1

f(3)=0

BẢng biến thiên:

Khi u∈[-1;0) thì phương trình f(t)=u có đúng 2 nghiệm khi t∈(1;3], với một nghiệm thuộc (1; 2) và một nghiệm thuộc (2; 3].

Tại u = -1, phương trình f(t) = -1 chỉ có 1 nghiệm t = 2.

Tại u = 0, t = 1 và t = 3 (chứa t = 1, không cho đủ 4 nghiệm x).

Do đó: để có đúng 2 nghiệm t∈(1; 3], ta phải chọn đúng 1 giá trị u∈[-1; 0)

Phương trình trở thành f(u)=m, với u∈[-1;0)

\(f\left(u\right)=u^2-4u+3\)

=>f'(u)=2u-4

u∈[-1;0)

=>2u∈[-2;0)

=>2u-4∈[-6;-4)

=>2u-4<0∀u∈[-1;0)

=>f(u) nghịch biến trên [-1;0)

\(f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 8\)

\(\lim_{u \to 0^-} f(u) = f(0) = 3\)

Do f(u) liên tục và giảm nghiêm ngặt từ 8 xuống 3 trên đoạn [-1;0), nên với mỗi giá trị m∈(3;8) thì phương trình f(u) = m sẽ có đúng 1 nghiệm u∈[-1;0)

=>m∈(3;8)

Đáp án C

Với f x > 0 , ∀ x ∈ ℝ . Xét biểu thức  f ' x f x = 2 - 2 x *  

Lấy nguyên hàm 2 vế (*), ta được  ∫ d f x f x = ∫ 2 - 2 x d x

⇔ ∫ d f x f x = - x 2 + 2 x + C ⇔ ln f x = - x 2 + 2 x + C  

Mà f(0) =1 suy ra C = lnf(0) = ln1 = 0. Do đó  f x = e - x 2 + 2 x  

Xét hàm số  f x = e - x 2 + 2 x  trên - ∞ ; + ∞ , có  f ' x = - 2 x + 2 = 0 ⇔ x = 1

Tính giá trị f 1 = e ; lim x → - ∞ f x = 0 ; lim x → - ∞ f x = 0  

Suy ra để phương trình f(x) = m có hai nghiệm thực phân biệt  ⇔ 0 < m < e .