Lời giải:

$|\overrightarrow{BC}|=BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(3a)^2+(4a)^2}=5a$ theo định lý Pitago.

Ta có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pitago\right)\)

\(\Leftrightarrow BC^2=\dfrac{4}{9}BC^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2-\dfrac{4}{9}BC^2=AC^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5}{9}BC^2=AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=\dfrac{9}{5}AC^2=\dfrac{9}{5}.\left(12a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC=\dfrac{3}{\sqrt[]{5}}.12a=\dfrac{36a\sqrt[]{5}}{5}\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=\dfrac{2}{3}.\dfrac{36a\sqrt[]{5}}{5}=\dfrac{24a\sqrt[]{5}}{5}\)

bài 1 : AH = \(\sqrt{119}\)cm
bài 2 : BN = \(\sqrt{49.54}\)cm

* hình tự vẽ

1/

Xét tam giác ABC: tam giác ABC là tam giác cân(gt) mà AH là đường cao(vì AH\(\perp\)BC)=> AH cũng là đường trung tuyến=> BH=HC

Ta có: BC=HB+HC, mà HB=HC(cmt)=> HB=HC=\(\frac{BC}{2}\)=> HB=HC= 5cm

Xét tam giác ACH, theo định lý Py ta go, có:

AH^2+ HC^2=AC^2

=> AH^2+ 5^2= 12^2

=> AH^2= 144-25

=> AH^2= 119=> AH= căn 119cm

2/ Xét tam giác BCA, theo định lý Py ta go, có:

BA^2+ AC^2= BC^2=> 12^2+5^2=BC^2

=> 144+25= BC^2=> BC^2= 169=>BC=13cm

Mà M là trung điểm BC(gt)=> MB=MC nên ta có BC=MB+MC=> MB=MC=\(\frac{BC}{2}\)=> MB=MC=6,5

Xét tam giác BMN, theo định lý Py ta go, có:

BN^2+NM^2= BM^2

=> BN^2+2,7^2=6,5^2=> BN^2 = 42,25-7,29=> BM^2= 34,96=> BM= căn 34,96cm

Bài 1: Xét ΔABC vuông tại A có cos B=\(\frac{BA}{BC}\)

=>\(\frac{a}{BC}=cos60=\frac12\)

=>BC=2a

Gọi M là trung điểm của BC

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\frac{BC}{2}=a\)

Xét ΔABC có AM là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\cdot\overrightarrow{AM}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot AM=2a\)

\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=CB=2a\)

Bài 2:

a: ABCD là hình vuông cạnh a

=>AB=BC=CD=DA=a

ΔABC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=a^2+a^2=2a^2\)

=>\(AC=a\sqrt2\)

\(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right|=BC=a\)

b: ABCD là hình vuông

=>\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=AC=a\sqrt2\)

c: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=AC=a\sqrt2\)

a)

Xét tam giác BAC vuông tại A và tam giác BMN vuông tại M có:

\(\widehat{BAC}\)=\(\widehat{BMN}\)

=> Tam giác BAC ᔕ  Tam giác BMN (g-g)

=> BA/BM=BC/BN

=> BN=BM.\(\dfrac{BC}{BA}\)=18.\(\dfrac{20}{12}\)=30cm

b)

Xét tam giác PAN vuông tại A và tam giác PMC vuông tại M có

\(\widehat{APN}\)=\(\widehat{MPC}\) (đối đỉnh)

=> Tam giác PAN ᔕ Tam giác PMC (g-g)

=> \(\dfrac{PA}{PM}\)=\(\dfrac{PN}{PC}\)

=> PA.PC=PM.PN (đpcm)

a: Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: Đề sai rồi bạn

C

C