a: Đặt \(t=\sqrt{x^2+1}\) (t>=1)

\(x^2-8\sqrt{x^2+1}+5-m=0\)

=>\(x^2+1-8\sqrt{x^2+1}+4-m=0\)

=>\(t^2-8t+4-m=0\)

=>\(m=t^2-8t+4\)

Đặt \(f\left(t\right)=t^2-8t+4\)

Đỉnh của (P) là:

\(t=-\frac{b}{2a}=\frac{8}{2\cdot1}=\frac82=4\)

\(f(1) = 1^2 - 8(1) + 4 = -3\)

\(f(4) = 4^2 - 8(4) + 4 = -12\)

Khi t->+∞ thì f(t)->+∞

Bảng biến thiên:

=>Tập giá trị của f(t) trên khoảng [1;+∞) là [-12;+∞)

=>Phương trình có nghiệm khi m>=-12

b: Đặt \(t=\sqrt{x^2+2x+5}\)

\(=\sqrt{x^2+2x+1+4}=\sqrt{\left(x+1\right)^2+4}\ge2\forall x\)

=>t>=2

\(t=\sqrt{x^2+2x+5}\)

=>\(x^2+2x+5=t^2\)

=>\(x^2+2x=t^2-5\)

Phương trình ban đầu sẽ trở thành:

\((t^2-5)-8t+3-m=0\)

=>\(m=t^2-8t-2\quad(\text{với }t\ge2)\)

Đặt (P): \(f\left(t\right)=t^2-8t-2\)

Đỉnh của (P) là: \(t=\frac{-\left(-8\right)}{2\cdot1}=\frac82=4\) ∈[2;+∞)

\(f(2)=2^2-8\cdot2-2=-14\)

\(f(4)=4^2-8\cdot4-2=-18\)

Khi t->+∞ thì f(t)->+∞

=>Tập giá trị của f(t) trên khoảng [2;+∞) là [-18;+∞)

=>Phương trình ban đầu có nghiệm khi m>=-18

Đáp án B.

Đặt t = log₂ x,

khi đó  m + 1 log 2 2   x + 2 log 2   x + m - 2 = 0

⇔ m + 1 t 2 + 2 t + m - 2 = 0 (*).

Để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Khi đó gọi x₁, x₂ lần lượt hai nghiệm của phương trình (*).

Vì 0 < x₁ < 1 < x₂ suy ra

\(x^2 + \frac{1}{x^2} - (m^2 + m + 2)\left(x + \frac{1}{x}\right) + m^3 + 2m + 2 = 0\) (1)

Đặt \(t=x+\frac{1}{x}\)

=>\(t^2=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2\)

=>\(t^2-2=x^2+\frac{1}{x^2}\)

Nếu x>0 thì \(t\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)

Nếu x<0 thì \(t\le-2\cdot\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=-2\)

=>\(\vert{}t\vert{} \ge 2\)

(1) sẽ trở thành: \((t^2 - 2) - (m^2 + m + 2)t + m^3 + 2m + 2 = 0\)

=>\(t^2-(m^2+m+2)t+m^3+2m=0\)

\(\Delta = [-(m^2 + m + 2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^3 + 2m)\)

\(=(m^2+m+2)^2-4(m^3+2m)\)

\(=(m^4+m^2+4+2m^3+4m^2+4m)-(4m^3+8m)\)

\(=m^4+2m^3+5m^2+4m+4-4m^3-8m\)

\(=m^4-2m^3+5m^2-4m+4=m^2(m-1)^2+(2m-1)^2+3\) >0∀m

(1)=>\((t - m)(t - (m^2 + 2)) = 0\)

=>\(\begin{cases} t_1 = m \\ t_2 = m^2 + 2 \end{cases}\)

TH1: \(t_2 = m^2 + 2\)

=>\(t_2\ge2\forall m\)

=>\(\left|t_2\right|\ge2\forall m\)

=>Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

Câu 1: ĐKXĐ: 4x-1>0 và \(3x^2-2x+1>0\)

=>x>1/4 và \(x^2-\frac23x+\frac13>0\)

=>x>1/4 và \(x^2-\frac23x+\frac19+\frac29>0\)

=>x>1/4 và \(\left(x-\frac13\right)^2+\frac29>0\)

=>x>1/4

\(\ln\left(3x^2-2x+1\right)=\ln\left(4x-1\right)\)

=>\(3x^2-2x+1=4x-1\)

=>\(3x^2-6x+2=0\)

=>\(x^2-2x+\frac23=0\)

=>\(x^2-2x+1=\frac13\)

=>\(\left(x-1\right)^2=\frac13\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-1=\frac{\sqrt3}{3}\\ x-1=-\frac{\sqrt3}{3}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{3+\sqrt3}{3}\left(nhận\right)\\ x=\frac{3-\sqrt3}{3}\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

Đặt \(-x^2+2x=t\Rightarrow0\le t\le1\)

\(\Rightarrow-t^2+t-3+m=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-t+3=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2-t+3\) trên \(\left[0;1\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\in\left[0;1\right]\)

\(f\left(0\right)=3\) ; \(f\left(1\right)=3\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{11}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{11}{4}\le f\left(t\right)\le3\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(\dfrac{11}{4}\le m\le3\)

\(x-4\sqrt{x+3}+m=0\)

\(\Leftrightarrow x+3-4\sqrt{x+3}-3+m=0\left(1\right)\)

\(đăt:\sqrt{x+3}=t\left(t\ge0\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow t^2-4t-3+m=0\Leftrightarrow f\left(t\right)=t^2-4t-3=-m\left(2\right)\)

\(\left(1\right)-có-2ngo-phân-biệt\Leftrightarrow\left(2\right)có-2ngo-phân-biệt-thỏa:t\ge0\)

\(\Rightarrow f\left(0\right)=-3\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)min=\dfrac{-\Delta}{4a}=-7\Leftrightarrow t=2\)

\(\Rightarrow-7< -m\le-3\Leftrightarrow3\le m< 7\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt  ⇔ ∆ > 0

⇔ m 2 - 8 m + 16 = 0 m - 4 2 > 0 ⇔ m ≠ 4   *

Theo định lí Viet, ta có:

  x 1 . x 2 = m − 1 3 ; x 1 + x 2 = m + 2 3 x 1 = 2 x 2 ⇔ x 1 = 2 9 ( m + 2 ) , x 2 = 1 9 ( m + 2 ) x 1 . x 2 = m − 1 3

⇒  ​ 2 81 ( m + 2 ) 2 = m − 1 3 ⇔ 2 m 2 − 19 m + 35 = 0 ⇔ m = 5 2 m = 7  (thỏa mãn (*))

Đáp án cần chọn là: A

Ta có: \(x^2 - 2x - 2\vert{}x - m\vert{} + 1 = 0\)

=>\(x^2-2x+1=2\left|x-m\right|\)

=>\(\left(x-1\right)^2=2\left|x-m\right|\) (1)

TH1: x>=m

(1) sẽ trở thành: \((x-1)^2=2(x-m)\iff x^2-2x+1=2x-2m\)

=>\(x^2-4x+2m+1=0\) (2) với x>=m

TH2: x<m

(1) sẽ trở thành: \(\left(x-1\right)^2=2\left(-x+m\right)\)

=>\(x^2-2x+1=-2x+2m\)

=>\(x^2=2m-1\) (3) với x<m

(3): \(x^2=2m-1\)

Nếu 2m-1<0 thì \(x^2<0\)

=>(3) vô nghiệm

Nếu 2m-1=0 thì \(x^2=0\)

=>x=0 và 2m=1

=>x=0 và m=1/2

mà 0<1/2

nên Nhận

Khi m=1/2 thì (1): \(x^2-4x+2\cdot\frac12+1=0\)

=>\(x^2-4x+2=0\)

=>\(x^2-4x+4=2\)

=>\(\left(x-2\right)^2=2\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-2=\sqrt2\\ x-2=-\sqrt2\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=2+\sqrt2\\ x=2-\sqrt2\end{array}\right.\)

mà x>=m=1/2

nên \(\left[\begin{array}{l}x=2+\sqrt2\\ x=2-\sqrt2\end{array}\right.\) nhận hết

=>m=1/2 thỏa mãn

Nếu 2m-1>0 thì \(x^2=2m-1\) có hai nghiệm phân biệt

2m-1>0

=>m>1/2

\(x^2=2m-1\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x=\sqrt{2m-1}\\ x=-\sqrt{2m-1}\end{array}\right.\)

(2): \(x^2 - 4x + 2m + 1 = 0\)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot\left(2m+1\right)=16-8m-4=-8m+12\)

Để (2) có nghiệm thì -8m+12>=0

=>-8m>=-12

=>m<=3/2

Đặt x<m

=>\(\sqrt{2m-1}

=>\(2m-1

=>\(m^2-2m+1>0\)

=>\(\left(m-1\right)^2>0\)

=>m-1<>0

=>m<>1

Khi m=1 thì \(x=\sqrt{2m-1}=1\)

=>LOại

=>(3) chỉ có một nghiệm hợp lệ là \(x=-\sqrt{2m-1}=-1\)

Thay m=1 vào (2), ta được:

\(x^2-4x+2\cdot1+1=0\)

=>\(x^2-4x+3=0\)

=>(x-1)(x-3)=0

=>x=1 hoặc x=3

mà x>=1

nên cả hai nghiệm x=1 và x=3 đều được chấp nhận

=>m=1 thỏa mãn

Vậy: m=1;m=1/2

10000000