Tập hợp các số thực m để hàm số đạt cực tiểu tại là
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(y=x^3+\left(3m-1\right)\cdot x^2+m^2\cdot x-3\)
=>y'=\(3x^2+\left(3m-1\right)\cdot2x+m^2=3x^2+\left(6m-2\right)\cdot x+m^2\)
=>y''=\(3\cdot2x+6m-2=6x+6m-2\)
Để hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 thì y'(-1)=0 và y''(-1)>0
=>\(\begin{cases}3\cdot\left(-1\right)^2+\left(6m-2\right)\cdot\left(-1\right)+m^2=0\\ 6\cdot\left(-1\right)+6m-2>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}m^2-6m+2+3=0\\ 6m-6-2>0\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}m^2-6m+5=0\\ 6m>8\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\left(m-1\right)\left(m-5\right)=0\\ m>\frac43\end{cases}\)
=>m=5
\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-sinx=0\\x-m-3=0\\x-\sqrt{9-m^2}=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=m+3\\x=\sqrt{9-m^2}\end{matrix}\right.\)
Do hệ số bậc cao nhất của x dương nên:
- Nếu \(m=-3\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có nghiệm bội 3 \(x=0\) \(\Rightarrow x=0\) là cực tiểu (thỏa mãn)
- Nếu \(m=3\Rightarrow x=0\) là nghiệm bội chẵn (không phải cực trị, ktm)
- Nếu \(m=0\Rightarrow x=3\) là nghiệm bội chẵn và \(x=0\) là nghiệm bội lẻ, đồng thời \(x=0\) là cực tiểu (thỏa mãn)
- Nếu \(m\ne0;\pm3\) , từ ĐKXĐ của m \(\Rightarrow-3< m< 3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+3>0\\\sqrt{9-m^2}>0\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(f'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm pb trong đó \(x=0\) là nghiệm nhỏ nhất
Từ BBT ta thấy \(x=0\) là cực tiểu
Vậy \(-3\le m< 3\)
Câu 2:
\(f\left(x\right)=x^3-2m\cdot x^2+mx+1\)
=>f'(x)=\(3x^2-2m\cdot2x+m=3x^2-4m\cdot x+m\)
=>f''(x)=\(3\cdot2x-4m=6x-4m\)
Để hàm số đạt cực tiểu tại x=1 thì f'(1)=0 và f''(1)>0
=>\(3\cdot1^2-4m\cdot1+m=0\) và 6*1-4m>0
=>3-4m+m=0 và 4m<6
=>3-3m=0 và m<3/2
=>m=1


Chọn D.
Ta có
⇒ y ' ' = 6 x - 6 m
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1