a) Phương trình đường tròn là: \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 81\)

b) Bán kính đường tròn là: \(R = IM = \sqrt {{{\left( {4 - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 2} \right)}^2}}  = \sqrt 2 \)

Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2\)

c) Bán kính đường tròn là: \(R = \frac{{\left| {5.1 - 12.\left( { - 1} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = \frac{{16}}{{13}}\)

Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {\left( {\frac{{16}}{{13}}} \right)^2}\)

d) Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là trung điểm AB. Vậy tọa độ điểm I là: \(I\left( {1;1} \right)\)

Bán kính đường tròn là: \(R = IA = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {29} \)

Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 29\)

e) Giả sử  tâm đường tròn là điểm \(I\left( {a;b} \right)\). Ta có: \(IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\)

Vì \(I{A^2} = I{B^2},I{B^2} = I{C^2}\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2}\\{\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {0 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\)  b

Vậy \(I\left( {2;3} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \)

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A,B, C là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\)

Đáp án là B

Do AB là đường kính đường tròn (O); C nằm trên đường tròn nên ΔCAB vuông tại C

Mặt khác tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong

⇒ I thuộc cung chứa góc 45 0  dựng trên đoạn AB.

Ta có  2 x 2 + 2 y 2 − 3 x + 7 y + 1 = 0 ⇔ x 2 + y 2 − 3 2 x + 7 2 y + 1 2 = 0

⟺ ( x − 3 / 4 ) 2 + ( y + 7 / 4 ) 2 = 25 / 8  nên đường tròn có tâm I 3 4 ; − 7 4  và bán kính  I 3 4 ; − 7 4

ĐÁP ÁN A

Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=3.

Gọi I' là tâm của (C')

(C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=3

=>\(\overrightarrow{OI^{\prime}}=3\cdot\overrightarrow{OI}\)

=>\(\begin{cases}x^{\prime}=3\cdot2=6\\ y^{\prime}=3\cdot\left(-1\right)=-3\end{cases}\)

=>I'(6;-3)

R'=3R=3*2=6

(C') sẽ có dạng là:

\(\left(x-6\right)^2+\left(y+3\right)^2=\left(R^{\prime}\right)^2=6^2=36\)

1: A(-1;1); B(1;3); C(1;-1)

Gọi tâm là I(x;y)

=>IA=IB=IC

=>\(IA^2=IB^2=IC^2\)

A(-1;1); I(x;y); B(1;3); C(1;-1)

\(IA^2=\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2\)

\(IB^2=\left(1-x\right)^2+\left(3-y\right)^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2\)

\(IC^2=\left(1-x\right)^2+\left(-1-y\right)^2=\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2\)

Ta có: \(IA^2=IB^2=IC^2\)

=>\(\begin{cases}\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2\\ \left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x^2+2x+1+y^2-2y+1=x^2-2x+1+y^2-6y+9\\ x^2-2x+1+y^2-6y+9=x^2-2x+1+y^2+2y+1\end{cases}\)

=>2x-2y+2=-2x-6y+10 và -2x-6y+10=-2x+2y+2

=>x-y+1=-x-3y+5 và -x-3y+5=-x+y+1

=>x+x-y+3y=5-1 và -x-3y+x-y=1-5

=>2x-2y=4 và -4y=-4

=>y=1 và x-y=2

=>y=1 và x=y+2=1+2=3

=>I(3;1)

I(3;1); A(-1;1)

\(R^2=IA^2=\left(-1-3\right)^2+\left(1-1\right)^2=16\)

Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là:

\(\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2=IA^2=16\)

2: \(R=IM=\sqrt{\left(2+2\right)^2+\left(-3-3\right)^2}=\sqrt{4^2+\left(-6\right)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\)

Phương trình đường tròn tâm I là:

\(\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2=IM^2=52\)

a: xét (I) có

ΔHDB nội tiếp

HB là đường kính

Do đó; ΔHDB vuông tại D

=>HD⊥AB tại D

Xét (J) có

ΔCEH nội tiếp

HC là đường kính

Do đó: ΔHEC vuông tại E

=>HE⊥AC tại E

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

b: Gọi O là giao điểm của AH và DE

Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và DE

TA có: \(OA=OH=\frac{AH}{2}\)

\(OD=OE=\frac{DE}{2}\)

mà AH=DE

nên OA=OH=OD=OE

Xét ΔOHI và ΔODI có

OH=OD

HI=DI

OI chung

Do đó: ΔOHI=ΔODI

=>\(\hat{OHI}=\hat{ODI}\)

=>\(\hat{ODI}=90^0\)

=>DE⊥ DI tại D

=>DE là tiếp tuyến tại D của (I)

Xét ΔJEO và ΔJHO có

JE=JH

OE=OH

JO chung

Do đó: ΔJEO=ΔJHO

=>\(\hat{JEO}=\hat{JHO}=90^0\)

=>DE⊥ EJ tại E

=>DE là tiếp tuyến tại E của (J)