Đáp án A

ĐK:  n ≥ 3 , n ∈ ℕ

Khi đó

A n 3 + 2 A n 2 = 100 ⇔ n ! n − 3 ! + 2. n ! n − 2 ! = 100 ⇔ n n − 1 n − 2 + 2 n n − 1 = 100

⇔ n 3 − 3 n 2 + 2 n + 2 n 2 − 2 n = 100 ⇔ n 3 − n 2 = 100 ⇒ n = 5  

Hệ số của x 5  trong khai triển 1 − 3 x 10  bằng: − 3 5 C 10 5

ĐKXĐ: n>=3

Ta có: \(4\cdot C_{n+1}^3+2\cdot C_{n}^2=A_{n}^3\)

=>\(4\cdot\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n+1-3\right)!\cdot3!}+2\cdot\frac{n!}{\left(n-2\right)!\cdot2!}=\frac{n!}{\left(n-3\right)!}\)

=>\(4\cdot\frac{\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)}{6}+2\cdot\frac{n\left(n-1\right)}{2}=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\)

=>\(\frac23n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+n\left(n-1\right)-n\left(n-1\right)\left(n-2\right)=0\)

=>\(n\left(n-1\right)\left\lbrack\frac23\left(n+1\right)+1-\left(n-2\right)\right\rbrack=0\)

=>\(\frac23\left(n+1\right)+1-n+2=0\)

=>\(\frac23n+\frac23-n+3=0\)

=>\(\frac{11}{3}-\frac13n=0\)

=>n=11

=>Khai triển ban đầu sẽ là \(\left(x^2-\frac{2}{x}\right)^{11}\)

Số hạng tổng quát là:

\(C_{11}^{k}\cdot\left(x^2\right)^{11-k}\cdot\left(-\frac{2}{x}\right)^{k}=C_{11}^{k}\cdot x^{22-2k}\cdot\frac{\left(-2\right)^{k}}{x^{k}}=C_{11}^{k}\cdot\left(-2\right)^{k}\cdot x^{22-3k}\)

Số hạng chứa x^7 sẽ tương ứng với 22-3k=7

=>3k=15

=>k=5

=>Hệ số là \(C_{11}^5\cdot\left(-2\right)^5=-32\cdot\frac{11!}{6!\cdot5!}=-32\cdot462=-14784\)

Đáp án A.

Phương pháp: 

+) Tổ hợp chập k của n phần tử:

C n k = n ! n − k ! k ! .  

+) Công thức khai triển nhị thức Newton:

x + y n = ∑ i = 0 n C n i x i . y n − i .  

Cách giải:

5 C n 1 − C n 2 = 5 ,    n ∈ N , n ≥ 2  

⇔ 5 n − n n − 1 2 = 5 ⇔ 10 n − n 2 + n = 0 ⇔ n 2 − 1 ln + 10 = 0 ⇔ n = 10  

Khi đó,

2 x + 1 x 2 n = 2 x + x − 2 10 = ∑ i = 0 10 C 10 i 2 x i . x − 2 10 − i = ∑ i = 0 10 C 10 i 2 i x 3 i − 20  

Số hạng chứa x 4  trong khai triển ứng với i thỏa mãn

3 i − 20 = 4 ⇔ i = 8  

Hệ số a của x 4  trong khai triển:

a = C 10 8 2 8 = 11520.  

A n 2 + 3 C n n - 2 - C n + 1 3 = A n + 1 2 - 2 n

Điều kiện: n ∈ ℕ , n ≥ 2

Với điều kiện trên, (*) tương đương với:

n n - 1 + 3 6 n n - 1 - 1 6 n n - 1 n + 1 = n n - 1 - 2 n

⇔ 3 2 n - 1 - 1 6 n 2 - 1 = n + 1 - 2 ⇔ n = 8

Khi đó :

P x = 1 + 2 x - 3 x 3 4 = ∑ k = 0 4 C 4 k - 3 4 - k x 4 - k 3 1 + 2 x 1 2 k = ∑ k = 0 4 C 4 k - 3 4 - k x 4 - k 3 . ∑ C k i i = 0 k . 2 i x i 2

Hệ số của số hạng x ứng với

4 - k 3 + i 2 = 1 ⇔ 2 k = 3 i = 2

Vì i , k ∈ ℕ và i ≤ k ≤ 4 nên ta suy ra: k = 4, i = 2 hoặc k = 2 và i = 4.Như vậy hệ số của x trong khai triển là:

C 4 - 4 - 3 0 . C 4 2 . 2 2 + C 4 2 - 3 2 . C 2 0 . 2 0 = 78

Đáp án cần chọn là B