Đáy là hình vuông hay chữ nhật bạn? Hình chữ nhật sao có các cạnh bằng nhau và bằng a được? 

THAM KHẢO:

CD//AB nên góc giữa SB và CD là góc giữa AB và SB, \(\widehat{ABS}\)

CB//AD nên góc giữa SD và CB là góc giữa SD và AD, \(\widehat{ADS}\)

Ta có: tan\(\widehat{ABS}\)=tan\(\widehat{ADS}\)=\(\dfrac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\)

Suy ra \(\widehat{ABS}\)=\(\widehat{ADS}\)=\(\dfrac{\pi}{3}\)

Chắc đề là \(SM=a\sqrt{3}\) vì không có điểm H nào trong dữ liệu

\(BC=AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=a\sqrt{2}\)

a.

Qua M kẻ đường thẳng song song BC cắt CD tại E

\(\Rightarrow CD\perp ME\Rightarrow CD\perp\left(SME\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SEM}\) là góc giữa (SCD) và (ABCD)

Áp dụng định lý talet trong tam giác BCD:

\(\dfrac{EM}{BC}=\dfrac{DM}{BD}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow EM=\dfrac{3}{4}BC=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SEM}=\dfrac{SM}{EM}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\)

\(\Rightarrow\widehat{SEM}\approx58^031'\)

b.

\(BC||AD\Rightarrow BC||\left(SAD\right)\)

\(\Rightarrow d\left(BC;AD\right)=d\left(BC;\left(SAD\right)\right)=d\left(B;\left(SAD\right)\right)\)

Lại có: BM cắt (SAD) tại D, mà \(BD=\dfrac{4}{3}MD\)

\(\Rightarrow d\left(B;\left(SAD\right)\right)=\dfrac{4}{3}d\left(M;\left(SAD\right)\right)\)

Trong mp (ABCD), từ M kẻ \(MH\perp AD\)

Trong mp (SMH), từ M kẻ \(MK\perp SH\)

\(\Rightarrow MK\perp\left(SAD\right)\Rightarrow MK=d\left(M;\left(SAD\right)\right)\)

Talet cho tam giác ABD:

\(\dfrac{MH}{AB}=\dfrac{MD}{BD}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow MH=\dfrac{3}{4}AB=\dfrac{3a}{4}\)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông SMH:

\(MK=\dfrac{SM.MH}{\sqrt{SM^2+MH^2}}=\dfrac{3a\sqrt{19}}{19}\)

\(\Rightarrow d\left(SD;BC\right)=\dfrac{4}{3}MK=\dfrac{4\sqrt{19}}{19}\)

CHỊ THAM KHẢO :

mình cảm on nhóoo

Chọn A.

Gọi H là trung điểm của CD, M là trung điểm của BC. Khi đó HM ⊥ BC, SM  ⊥ BC. Dễ thấy tam giác HBC vuông cân ở H, do đó tính được BC, SM. Từ đó tính được SH.

Đặt hệ trục tọa độ trong mặt phẳng đáy:
$A(0,0,0),; B(a,0,0),; D(0,a,0)$ (vì hình thang vuông tại $A, D$),
$C(2a,a,0)$ (do $CD = 2a$).

Trung điểm $H$ của $CD$ là:
$H\left(a,a,0\right)$.

Vì hình chiếu của $S$ xuống đáy là $H$ nên:
$S(a,a,h)$.

Diện tích tam giác $SBC$:

$\vec{SB} = (a-a,;0-a,;0-h) = (0,-a,-h)$
$\vec{SC} = (2a-a,;a-a,;0-h) = (a,0,-h)$

$\vec{SB} \times \vec{SC} = (ah,;ah,;a^2)$

$|\vec{SB} \times \vec{SC}| = \sqrt{a^2h^2 + a^2h^2 + a^4} = a\sqrt{2h^2 + a^2}$

Diện tích:
$S_{SBC} = \dfrac{1}{2} |\vec{SB} \times \vec{SC}| = \dfrac{a}{2}\sqrt{2h^2 + a^2}$

Theo đề:
$\dfrac{a}{2}\sqrt{2h^2 + a^2} = \dfrac{3\sqrt2}{2}a^2$

$\Rightarrow \sqrt{2h^2 + a^2} = 3\sqrt2,a$

$\Rightarrow 2h^2 + a^2 = 18a^2$

$\Rightarrow h^2 = \dfrac{17a^2}{2}$

$\Rightarrow h = a\sqrt{\dfrac{17}{2}}$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD)\cdot AD}{2} = \dfrac{(a + 2a)\cdot a}{2} = \dfrac{3a^2}{2}$

Thể tích:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD}\cdot h= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a^2}{2} \cdot a\sqrt{\dfrac{17}{2}}= \dfrac{a^3}{2}\sqrt{\dfrac{17}{2}}= \dfrac{a^3\sqrt{34}}{4}$

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,b,0)$. Ta sẽ xác định $b$ sau.

Vì $BC = 2a$ và $BD = a\sqrt{10}$, đặt $C$ sao cho đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$. Ta chọn $C(a+c,d,0)$, nhưng để đơn giản, ta có thể đặt $C$ theo tọa độ $C$ sao cho $BC = 2a$.

Trung điểm $H$ của $AB$: $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$ là hình chiếu của $S$ ⇒ $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Xét góc giữa $SD$ và mặt phẳng đáy:

Hình chiếu $H$ ⇒ độ cao $SH = h$, đường chéo $SD$ → góc với đáy 60° ⇒ $\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{SD}$

Cạnh $SD = \sqrt{(\dfrac{a}{2}-x_D)^2 + (0 - y_D)^2 + h^2}$

Với $D(0,b,0)$, ta có: $SD = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + b^2 + h^2}$

Theo đề: $\sin 60^\circ = \dfrac{h}{\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + b^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

⇒ $\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\frac{a^2}{4} + b^2 + h^2} \Rightarrow 3\left(\frac{a^2}{4} + b^2 + h^2\right) = 4 h^2$

⇒ $\frac{3 a^2}{4} + 3b^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = \frac{3a^2}{4} + 3b^2$

Ta cần xác định $b$ từ dữ kiện đáy:

$BD^2 = a^2 + b^2 = 10 a^2 \Rightarrow b^2 = 9a^2 \Rightarrow b = 3a$

Vậy: $h^2 = \dfrac{3 a^2}{4} + 3 \cdot (3a)^2 = \dfrac{3a^2}{4} + 27 a^2 = \dfrac{111 a^2}{4}$

⇒ $h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang):

$AD \parallel BC$, $AD$ chưa biết, nhưng hình thang vuông tại $A$ và $B$ ⇒ $AD = ?$

Đặt $A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,3a,0), C(2a,3a,0)$ để thỏa mãn $BC = 2a$ và $BD^2 = a^2 + 3a^2 = 10 a^2$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a)\cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$

Thể tích:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$

Đáp án D

Dựng HK ⊥ BD, do SH ⊥ BD nên ta có:

(SKH) ⊥ BD =>  Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy là góc SKH = 60⁰

Lại có: 

Do đó

Vậy 

Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy: $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$ tính theo tọa độ: $BD^2 = (a-0)^2 + (0-3a)^2 = a^2 + 9a^2 = 10a^2$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Giải ra:
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{a^2}{4} + 9a^2 + h^2} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37a^2}{4} + h^2\right) = 4h^2$

$\dfrac{111 a^2}{4} + 3h^2 = 4h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):
$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.

$\boxed{V = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3}$