a) Sử dụng Pytago

b) Áp dụng a)

a: ΔCAD vuông tại C

=>\(\hat{CAD}+\hat{CDA}=90^0\)

=>\(\hat{CAD}=90^0-60^0=30^0\)

AC là phân giác của góc BAD

=>\(\hat{BAD}=2\cdot\hat{CAD}=2\cdot30^0=60^0\)

Xét hình thang ABCD có \(\hat{CDA}=\hat{BAD}\left(=60^0\right)\)

nên ABCD là hình thang cân

b: BC//AD

=>\(\hat{BCA}=\hat{CAD}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{CAD}=\hat{BAC}\) (AC là phân giác của góc BAD)

nên \(\hat{BCA}=\hat{BAC}\)

=>BC=BA

mà BA=CD

nên BA=CD=BC

Xét ΔCAD vuông tại C có \(\sin CAD=\frac{CD}{AD}\)

=>\(\frac{CD}{AD}=\sin30=\frac12\)

=>\(CD=\frac12AD\)

=>\(AB=BC=CD=\frac12AD\)

Chu vi hình thang ABCD là 20cm

=>AB+BC+CD+AD=20

=>\(\frac12AD+\frac12AD+\frac12AD+AD=20\)

=>2,5AD=20

=>AD=8(cm)

a: Xét tứ giác ABKD có \(\hat{BAD}=\hat{ADK}=\hat{BKD}=90^0\)

nên ABKD là hình chữ nhật

=>AB=DK và BK=AD

AB=DK

mà AB=4cm

nên DK=4cm

Ta có: DK+KC=DC

=>KC=DC-DK=9-4=5(cm)

ΔBKC vuông tại K

=>\(BK^2+KC^2=BC^2\)

=>\(BK^2=13^2-5^2=144=12^2\)

=>BK=12(cm)

mà BK=AD

nên AD=12cm

M là trung điểm của AD

=>\(AM=MD=\frac{AD}{2}=\frac{12}{2}=6\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔABM vuông tại A và ΔDMC vuông tại D có

\(\frac{AB}{DM}=\frac{AM}{DC}\left(\frac46=\frac69=\frac23\right)\)

Do đó: ΔABM~ΔDMC

c: ΔABM~ΔDMC

=>\(\hat{ABM}=\hat{DMC}\)

mà \(\hat{ABM}+\hat{AMB}=90^0\) (ΔAMB vuông tại A)

nên \(\hat{DMC}+\hat{AMB}=90^0\)

Ta có: \(\hat{AMB}+\hat{BMC}+\hat{CMD}=180^0\)

=>\(\hat{BMC}=180^0-90^0=90^0\)

a) Xét \(\Delta ACD\) vuông tại C, có:

\(CAD+ADC=90\) độ \(\Rightarrow ADC=90độ-ADC=90-60=30độ\)

AC là pgiac BAD=> \(CAD=CAB=\dfrac{1}{2}BAD\Rightarrow BAD=2CAD=2.30=60độ\)

Hình thang ABCD, có: BAD=CAD=60 độ=> ABCD là hình thang cân

b) \(\Delta ACD\) vuông tại C có : DAC=30 độ => \(CD=\dfrac{1}{2}AD\) (đlí)

BC//AD=>BCA=CAD (so le trong)

Mà BAC=DAC (cm a) 

=> BAC=BCA => tam giác ABC cân tại A =>BC=AB 

ABCD là hthang cân => AB=CD

Ta có: \(P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=CD+CD+CD+2CD=20\)

\(\Leftrightarrow CD=\dfrac{20}{5}=4\left(cm\right)\Rightarrow AD=2.CD=2.4=8\left(cm\right)\)

3)áp dụng pytago để tính