Phương pháp

+ Xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d  và đường thẳng d' với d' là hình chiếu của d  trên mặt phẳng (P).

+ Thể tích hình chóp có chiều cao h và diện tích đáy S là V = 1 3 h S

Cách giải:

+ Ta có SA  ⊥  (ABCD) => AB là hình chiếu của

SB lên mặt phẳng (ABCD) . Suy ra góc giữa SB và đáy là góc ∠  SBA = 60⁰.

+ Xét tam giác vuông SAB có: 

+ Diện tích đáy

+ Thể tích khối chóp là

Chọn C. 

Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,D$ nên $AD \parallel BC,\ AB \perp AD,\ CD \perp AD$.

Ta có: $AD = 2a,\ AB = 2a,\ DC = a$ nên $BC = a$.

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC)\cdot AB}{2} = \dfrac{(2a + a)\cdot 2a}{2} = 3a^2$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên chiều cao là $SA$.

Xét tam giác $SAB$, ta có góc giữa $SB$ và đáy bằng $60^\circ$ nên:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SB}$.

Mặt khác:

$SB^2 = SA^2 + AB^2$.

Suy ra: $\left(\dfrac{SA}{\sin60^\circ}\right)^2 = SA^2 + (2a)^2$.

$\Rightarrow \dfrac{SA^2}{\frac{3}{4}} = SA^2 + 4a^2$

$\Rightarrow \dfrac{4}{3}SA^2 = SA^2 + 4a^2$

$\Rightarrow \dfrac{1}{3}SA^2 = 4a^2$

$\Rightarrow SA^2 = 12a^2$

$\Rightarrow SA = 2a\sqrt3$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD}\cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot 2a\sqrt3 = 2a^3\sqrt3$.

$\boxed{V = 2a^3\sqrt3}$.

Chọn C.

Đáp án C

Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,D$ nên $AD \parallel BC,\ AB \perp AD,\ CD \perp AD$.

Ta có: $AD = 2a,\ AB = 2a,\ DC = a \Rightarrow BC = a$.

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC)\cdot AB}{2} = \dfrac{(2a + a)\cdot 2a}{2} = 3a^2$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên chiều cao là $SA$.

Xét tam giác vuông $SAB$ tại $A$.

Góc giữa $SB$ và đáy là $60^\circ$ nên:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SB}$.

Mặt khác:

$SB^2 = SA^2 + AB^2 = SA^2 + (2a)^2$.

Suy ra: $\left(\dfrac{SA}{\sin60^\circ}\right)^2 = SA^2 + 4a^2$

$\Rightarrow \dfrac{SA^2}{\frac{3}{4}} = SA^2 + 4a^2$

$\Rightarrow \dfrac{4}{3}SA^2 = SA^2 + 4a^2$

$\Rightarrow \dfrac{1}{3}SA^2 = 4a^2$

$\Rightarrow SA^2 = 12a^2$

$\Rightarrow SA = 2a\sqrt3$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD}\cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot 2a\sqrt3 = 2a^3\sqrt3$.

$V = 2a^3\sqrt3$.

Chọn C.

Đáp án A

Gặp những bài cần tính toán thế này làm biếng lắm, dựng hình thì dễ chứ tính thì chả muốn tính chút xíu nào.

Trong mp đáy, kéo dài AD và BC cắt nhau tại E \(\Rightarrow D\) là trung điểm AE (đường trung bình) \(\Rightarrow AE=AB=2a\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AD\perp AB\\SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\Rightarrow AD\perp SB\)

\(\Rightarrow AD\in\left(\alpha\right)\)

Trong mp (SAB), kẻ \(AM\perp SB\Rightarrow M\in\left(\alpha\right)\)

Dễ dàng chứng minh tam giác ACB vuông cân tại C (Pitago đảo) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\)

Trong mp (SAC), kẻ \(AN\perp SC\Rightarrow AN\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AN\perp SB\Rightarrow N\in\left(\alpha\right)\)

\(\Rightarrow\) Thiết diện là tứ giác AMND

\(SB=SE=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{5}\) ; \(AM=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}\)

\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SC=\sqrt{AC^2+SA^2}=a\sqrt{3}\)

\(CN=\dfrac{AC^2}{SC}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\) ; \(EC=BC=a\sqrt{2}\Rightarrow EN=\sqrt{EC^2+CN^2}=\dfrac{a\sqrt{30}}{3}\)

\(DE=AD=a\)

\(S_{AME}=\dfrac{1}{2}AM.AE=...\) 

\(S_{DNE}=\dfrac{1}{2}DE.EN.sin\widehat{DEN}=\dfrac{1}{2}DE.EN.\dfrac{AM}{\sqrt{AM^2+AE^2}}=...\)

\(\Rightarrow S_{AMND}=S_{AME}-S_{DNE}=...\) 

bạn giúp mình trường hợp vuông với SC luôn vs

Đáp án B

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên đáy $(ABCD)$. Vì hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với đáy, nên $SH$ là đường cao của hình chóp.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $D$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} = \dfrac{(2a + a) \cdot 2a}{2} = 3 a^2$

Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là $60^\circ$. Do đó chiều cao $SH$ được xác định từ dữ kiện hình học:

$SH = \dfrac{3 \sqrt{15}}{5} a$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 3 a^2 \cdot \dfrac{3 \sqrt{15}}{5} a = \dfrac{3 a^3 \sqrt{15}}{5}$

Chọn B