Xét tam giác ABC có :

\(bc^2\)=\(5^2\)=25

\(ab^2\)+\(ac^2\)=\(3^2\)+\(4^2\)=9+16=25   

Suy ra:\(bc^2=ab^2+ac^2\)(định lí py-ta-go đảo)

a: Xét tứ giác AMBN có 

Q là trung điểm của AB

Q là trung điểm của MN

Do đó: AMBN là hình bình hành

mà MA=MB

nên AMBN là hình thoi

Chọn đáp án C.

Chuẩn hóa BC = 5; AC = 4; AB = 3 →∆ABC vuông tại A.

Khi quay ∆ABC quanh AC, ta được khối nón  N 1  có bán kính đáy r = AB = 3, độ dài đường sinh l = BC = 5 suy ra diện tích toàn phần của N 1 là S b = 24 π  

Khi quay ∆ABC quanh AB, ta được khối nón  N 2  có bán kính đáy r = AC = 4, độ dài đường sinh l = BC = 5 suy ra diện tích toàn phần của N 2 là S c = 36 π

Khi quay ∆ABC quanh BC, ta được khối nón  N 3 , N 4 có  bán kính đáy là chiều cao của tam giác ABC và bằng 12/5, độ dài đường sinh lần lượt là 3,4 suy ra diện tích toàn phần của khối tròn xoay S a = S 3 + S 4 = 708 π 25  

Vậy S C > S a > S b  

a: Xét ΔCAB có CE/CA=CD/CB

nên ED//AB và ED=AB/2

=>AEDB là hình thang

mà góc EAB=90 độ

nênAEDB là hình thang vuông

b: Xét tứ giác ABKC có

D là trung điểm chung của AK và BC

góc BAC=90 độ

Do đó: ABKC là hình chữ nhật

a. Xét \(\Delta ABC\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}CF=BF\\BD=AD\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)DF là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)DF//AC hay DF//EC(1)

Lại có, xét \(\Delta ABC\): \(\left\{{}\begin{matrix}CE=AE\\BD=AD\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\) ED là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\) ED//BC hay ED//CF(2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác FDEC là hình bình hành

b. Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}FD//AC\\AC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow FD\perp AB\Rightarrow\widehat{FDA}=90^o\)

Tương tự xét \(\Delta ABC\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}CE=AE\\CF=BF\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)EF là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\) EF//AB

Có: \(\left\{{}\begin{matrix}EF//AB\\AC\perp AB\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow EF\perp AC\Rightarrow\widehat{FEA}=90^o\)

Xét tứ giác EFDA có: \(\widehat{FEA}=\widehat{EFD}=\widehat{EAD}=90^o\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác EFDA là hình chữ nhật \(\Rightarrow\) AF=DE

c. Xét \(\Delta AKC\) vuông tại K có KE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

\(\Rightarrow EK=\dfrac{AC}{2}=CE=EA\)

Mà EA=DF (EDFA là hình chữ nhật)

\(\Rightarrow EK=DF\)

Xét tứ giác KDEF có: \(\left\{{}\begin{matrix}DK//EF\\DF=EK\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\) Tứ giác KDEF là hình thang cân

Câu 4:

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=9^2+12^2=81+144=225=15^2\)

=>BC=15(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có sin B=\(\frac{AC}{BC}=\frac{12}{15}=\frac45\)

nên \(\hat{B}\) ≃52 độ

ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{ACB}=90^0-52^0=38^0\)

b: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>AH=EF

Xét ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

c: ΔABC vuông tại A

mà AK là đường trung tuyến

nên KA=KC=KB

KA=KC

=>ΔKAC cân tại K

=>\(\hat{KAC}=\hat{KCA}\)

AEHF là hình chữ nhật

=>\(\hat{AFE}=\hat{AHE}\)

mà \(\hat{AHE}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)

nên \(\hat{AFE}=\hat{ABC}\)

\(\hat{AFE}+\hat{KAC}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>AK⊥EF
Câu 5:

1: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC^2=3^2+4^2=9+16=25=5^2\)

=>BC=5(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot5=3\cdot4=12\)

=>AH=12/5=2,4(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>BH=3^2/5=1,8(cm)

BH+HC=BC

=>CH=5-1,8=3,2(cm)

2: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\overline{}\)

nên AEHF là hình chữ nhật

Xét ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(EA\cdot EB=EH^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(FA\cdot FB=HF^2\)

AEHF là hình chữ nhật

=>\(HA^2=HE^2+HF^2\)

=>\(HA^2=EA\cdot EB+FA\cdot FC\)

3: Xét ΔBHE vuông tại E có \(cosB=\frac{BE}{BH}\)

Xét ΔBHA vuông tại H có cos B=\(\frac{BH}{BA}\)

Xét ΔBAC vuông tại A có cos B=\(\frac{BA}{BC}\)

Do đó: \(cosB\cdot cosB\cdot cosB=\frac{BE}{BH}\cdot\frac{BH}{BA}\cdot\frac{BA}{BC}=\frac{BE}{BC}\)

=>\(BE=BC\cdot cos^3B\) (ĐPCM)

Câu 4:

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=9^2+12^2=81+144=225=15^2\)

=>BC=15(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có sin B=\(\frac{AC}{BC}=\frac{12}{15}=\frac45\)

nên \(\hat{B}\) ≃52 độ

ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{ACB}=90^0-52^0=38^0\)

b: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>AH=EF

Xét ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

c: ΔABC vuông tại A

mà AK là đường trung tuyến

nên KA=KC=KB

KA=KC

=>ΔKAC cân tại K

=>\(\hat{KAC}=\hat{KCA}\)

AEHF là hình chữ nhật

=>\(\hat{AFE}=\hat{AHE}\)

mà \(\hat{AHE}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)

nên \(\hat{AFE}=\hat{ABC}\)

\(\hat{AFE}+\hat{KAC}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>AK⊥EF
Câu 5:

1: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC^2=3^2+4^2=9+16=25=5^2\)

=>BC=5(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot5=3\cdot4=12\)

=>AH=12/5=2,4(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>BH=3^2/5=1,8(cm)

BH+HC=BC

=>CH=5-1,8=3,2(cm)

2: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\overline{}\)

nên AEHF là hình chữ nhật

Xét ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(EA\cdot EB=EH^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(FA\cdot FB=HF^2\)

AEHF là hình chữ nhật

=>\(HA^2=HE^2+HF^2\)

=>\(HA^2=EA\cdot EB+FA\cdot FC\)

a) Xét ΔABC có 

F là trung điểm của AC(gt)

M là trung điểm của BC(gt)

Do đó: FM là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒FM//AB và \(FM=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà E∈AB và \(AE=\dfrac{AB}{2}\)(E là trung điểm của AB)

nên FM//AE và FM=AE

Xét tứ giác AEMF có 

FM//AE(cmt)

FM=AE(cmt)

Do đó: AEMF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AEMF có \(\widehat{FAE}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)

nên AEMF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)