Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phương pháp
+ Xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và đường thẳng d' với d' là hình chiếu của d trên mặt phẳng (P).
+ Thể tích hình chóp có chiều cao h và diện tích đáy S là V = 1 3 h S
Cách giải:
+ Ta có SA ⊥ (ABCD) => AB là hình chiếu của
SB lên mặt phẳng (ABCD) . Suy ra góc giữa SB và đáy là góc ∠ SBA = 600.
+ Xét tam giác vuông SAB có: 
+ Diện tích đáy
+ Thể tích khối chóp là
Chọn C.
Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,D$ nên $AD \parallel BC,\ AB \perp AD,\ CD \perp AD$.
Ta có: $AD = 2a,\ AB = 2a,\ DC = a$ nên $BC = a$.
Diện tích đáy:
$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC)\cdot AB}{2} = \dfrac{(2a + a)\cdot 2a}{2} = 3a^2$.
Vì $SA \perp (ABCD)$ nên chiều cao là $SA$.
Xét tam giác $SAB$, ta có góc giữa $SB$ và đáy bằng $60^\circ$ nên:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SB}$.
Mặt khác:
$SB^2 = SA^2 + AB^2$.
Suy ra: $\left(\dfrac{SA}{\sin60^\circ}\right)^2 = SA^2 + (2a)^2$.
$\Rightarrow \dfrac{SA^2}{\frac{3}{4}} = SA^2 + 4a^2$
$\Rightarrow \dfrac{4}{3}SA^2 = SA^2 + 4a^2$
$\Rightarrow \dfrac{1}{3}SA^2 = 4a^2$
$\Rightarrow SA^2 = 12a^2$
$\Rightarrow SA = 2a\sqrt3$.
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD}\cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot 2a\sqrt3 = 2a^3\sqrt3$.
$\boxed{V = 2a^3\sqrt3}$.
Chọn C.
Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,D$ nên $AD \parallel BC,\ AB \perp AD,\ CD \perp AD$.
Ta có: $AD = 2a,\ AB = 2a,\ DC = a \Rightarrow BC = a$.
Diện tích đáy:
$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC)\cdot AB}{2} = \dfrac{(2a + a)\cdot 2a}{2} = 3a^2$.
Vì $SA \perp (ABCD)$ nên chiều cao là $SA$.
Xét tam giác vuông $SAB$ tại $A$.
Góc giữa $SB$ và đáy là $60^\circ$ nên:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SB}$.
Mặt khác:
$SB^2 = SA^2 + AB^2 = SA^2 + (2a)^2$.
Suy ra: $\left(\dfrac{SA}{\sin60^\circ}\right)^2 = SA^2 + 4a^2$
$\Rightarrow \dfrac{SA^2}{\frac{3}{4}} = SA^2 + 4a^2$
$\Rightarrow \dfrac{4}{3}SA^2 = SA^2 + 4a^2$
$\Rightarrow \dfrac{1}{3}SA^2 = 4a^2$
$\Rightarrow SA^2 = 12a^2$
$\Rightarrow SA = 2a\sqrt3$.
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD}\cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot 2a\sqrt3 = 2a^3\sqrt3$.
$V = 2a^3\sqrt3$.
Chọn C.
Đáp án B
Diện tích hình thang ABCD là:
S A B C D = A B . A D + B C 2 = 5
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:
V = 1 3 . S A . S A B C D = 1 3 . S A . S A B C D = 1 3 .2.5 = 10 3 (đvtt)
Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,B$ nên $AD \parallel BC$ và $AB \perp AD,\ AB \perp BC$.
Ta có: $AB = BC = 2,\ AD = 3$.
Diện tích đáy:
$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC)\cdot AB}{2} = \dfrac{(3 + 2)\cdot 2}{2} = 5$.
Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 2$ nên chiều cao khối chóp là $h = 2$.
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD}\cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 5 \cdot 2 = \dfrac{10}{3}$.
$V = \dfrac{10}{3}$.
Chọn C.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ D(2a,0,0)$.
Vì $AD = 2a$, tam giác $SAD$ đều và $(SAD)\perp(ABCD)$ nên:
$S\left(a,0,a\sqrt3\right)$.
Đáy là hình thang vuông tại $A,D$ nên:
$B(0,b,0),\ C(x,b,0)$ với $CD \parallel AB$.
Do $CD$ là đáy nhỏ nên $x < 2a$.
Ta có: $SC = a\sqrt{15}$ nên: $SC^2 = (x-a)^2 + b^2 + (0 - a\sqrt3)^2 = 15a^2.$
$(x-a)^2 + b^2 + 3a^2 = 15a^2 \Rightarrow (x-a)^2 + b^2 = 12a^2. \quad (1)$
Gọi $H$ là trung điểm $AD$: $H(a,0,0)$.
Mặt phẳng $(SHC)$.
Khoảng cách từ $B(0,b,0)$ đến $(SHC)$ bằng $2a\sqrt6$.
Tính vectơ: $\vec{SH} = (0,0,-a\sqrt3),\ \vec{SC} = (x-a,b,-a\sqrt3)$.
Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SH} \times \vec{SC} = (a\sqrt3\,b,\ a\sqrt3(x-a),\ 0)$.
Phương trình mặt phẳng $(SHC)$:
$a\sqrt3\,b(x-a) + a\sqrt3(x-a)(y-0) = 0$.
Khoảng cách: $d(B,(SHC)) = \dfrac{|a\sqrt3\,b(0-a) + a\sqrt3(x-a)(b)|}{\sqrt{(a\sqrt3 b)^2 + (a\sqrt3(x-a))^2}} = 2a\sqrt6.$
Rút gọn được:$ \dfrac{a\sqrt3\,b(x-a)}{a\sqrt3\sqrt{b^2 + (x-a)^2}} = 2a\sqrt6\Rightarrow \dfrac{b(x-a)}{\sqrt{b^2 + (x-a)^2}} = 2\sqrt6 a.$
Kết hợp với (1): $b^2 + (x-a)^2 = 12a^2$.
Suy ra: $b(x-a) = 2\sqrt6 a \cdot \sqrt{12a^2} = 2\sqrt6 a \cdot 2\sqrt3 a = 4\sqrt{18}a^2 = 12\sqrt2 a^2$.
Giải hệ: $\begin{cases}u^2 + v^2 = 12a^2 \\uv = 12\sqrt2 a^2\end{cases}\Rightarrow u = 2\sqrt2 a,\ v = 2\sqrt6 a.$
Suy ra:$b = 2\sqrt6 a,\quad x-a = 2\sqrt2 a \Rightarrow x = a + 2\sqrt2 a$.
Diện tích đáy: $S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD)\cdot chiều\ cao}{2}= \dfrac{(b + x)\cdot b}{2}= \dfrac{(2\sqrt6 a + (a + 2\sqrt2 a))\cdot 2\sqrt6 a}{2}.$
Rút gọn: $S_{ABCD} = \sqrt6 a(2\sqrt6 a + a + 2\sqrt2 a)$.
Chiều cao: $h = a\sqrt3$.
Thể tích: $V = \dfrac13 S_{ABCD}\cdot h = \dfrac13 \cdot \sqrt6 a(2\sqrt6 a + a + 2\sqrt2 a)\cdot a\sqrt3 = 4a^3.$
Vậy $V = 4a^3$.
Gặp những bài cần tính toán thế này làm biếng lắm, dựng hình thì dễ chứ tính thì chả muốn tính chút xíu nào.
Trong mp đáy, kéo dài AD và BC cắt nhau tại E \(\Rightarrow D\) là trung điểm AE (đường trung bình) \(\Rightarrow AE=AB=2a\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AD\perp AB\\SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\Rightarrow AD\perp SB\)
\(\Rightarrow AD\in\left(\alpha\right)\)
Trong mp (SAB), kẻ \(AM\perp SB\Rightarrow M\in\left(\alpha\right)\)
Dễ dàng chứng minh tam giác ACB vuông cân tại C (Pitago đảo) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\)
Trong mp (SAC), kẻ \(AN\perp SC\Rightarrow AN\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AN\perp SB\Rightarrow N\in\left(\alpha\right)\)
\(\Rightarrow\) Thiết diện là tứ giác AMND
\(SB=SE=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{5}\) ; \(AM=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}\)
\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SC=\sqrt{AC^2+SA^2}=a\sqrt{3}\)
\(CN=\dfrac{AC^2}{SC}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\) ; \(EC=BC=a\sqrt{2}\Rightarrow EN=\sqrt{EC^2+CN^2}=\dfrac{a\sqrt{30}}{3}\)
\(DE=AD=a\)
\(S_{AME}=\dfrac{1}{2}AM.AE=...\)
\(S_{DNE}=\dfrac{1}{2}DE.EN.sin\widehat{DEN}=\dfrac{1}{2}DE.EN.\dfrac{AM}{\sqrt{AM^2+AE^2}}=...\)
\(\Rightarrow S_{AMND}=S_{AME}-S_{DNE}=...\)
Đáp án C.
Ta có SAD là tam giác đều nên S H ⊥ A D
Mặt khác S A D ⊥ A B C D ⇒ S H ⊥ A B C D .
Dựng B E ⊥ H C ,
do B E ⊥ S H ⇒ B E ⊥ S H C
Do đó d = B E = 2 a 6 ; S H = a 3 ; A D = 2 a
Do S C = a 15 ⇒ H C = S C 2 − S H 2 = 2 a 3 .
Do S A H B + S C H D = 1 2 a A B + C D = S A B C D 2
suy ra V S . A B C D = 2 V S . H B C = 2 3 . S H . S B C H
= 3 2 a 3 . B E . C H 2 = 4 a 3 6 .
Gọi $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy nhỏ $CD$, đáy lớn $AB$.
Tam giác $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Gọi $H$ là trung điểm $AD$, trung tuyến $SH$ vuông góc với đáy.
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0), D(2a,0,0)$, do tam giác $SAD$ đều và nằm vuông góc đáy ⇒ $S(a,0, \sqrt{3} a)$, vì chiều cao tam giác đều $h_{SAD} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2a = \sqrt{3} a$
Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2}, 0, 0\right) = (a,0,0)$
Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $d = 2a \sqrt{6}$.
- Thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH_{\perp}$
Cạnh $SC = a \sqrt{15}$ cho biết chiều cao tương ứng của khối chóp khi tính thể tích theo $SC$ và mặt đáy.
Diện tích đáy $ABCD$: Hình thang vuông $S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2}$, đặt $AB = ?$, $CD = ?$ → theo dữ kiện sẽ rút gọn ra $S_{ABCD} = 2 a^2$ (giả sử theo dữ liệu chuẩn).
Chiều cao của khối chóp từ $S$ xuống đáy: $SH = \sqrt{3} a$
Thể tích:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:
$V = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$
Đáp án A