Đáp án D

Chọn D

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên:
$SA \perp AB,\ AC,\ AD,\ BC,\ CD$.

Xét các tam giác có đỉnh $S$:

- $\triangle SAB$: vuông tại $A$

- $\triangle SAC$: vuông tại $A$

- $\triangle SAD$: vuông tại $A$

Các tam giác còn lại:

$\triangle SBC,\ SCD,\ SBD$ không vuông.

$\Rightarrow$ Có $3$ tam giác vuông.

Xét các tam giác trong đáy $ABCD$:

Vì $ABCD$ là hình thang cân, $AD \parallel BC$, $AB = BC$ và $AD = 2AB$.

Xét các tam giác:

- $\triangle ABC$: vuông tại $B$

- $\triangle BCD$: vuông tại $C$

Các tam giác:

$\triangle ABD,\ ACD$ không vuông.

$\Rightarrow$ Có $2$ tam giác vuông.

Tổng số tam giác vuông: $3 + 2 = 5$

Chọn $\boxed{C}$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên:

$SA \perp AB,\ AC,\ AD,\ BC,\ CD$.

Các tam giác có đỉnh $S$:

- $\triangle SAB$: vuông tại $A$

- $\triangle SAC$: vuông tại $A$

- $\triangle SAD$: vuông tại $A$

Xét thêm:

- $\triangle SBC$: có $AB = BC$ và $SA \perp BC$ ⇒ $\triangle SBC$ vuông tại $B$

- $\triangle SCD$: có $CD \parallel AB$ và $SA \perp AB$ ⇒ $\triangle SCD$ vuông tại $C$

$\Rightarrow$ Có $5$ tam giác vuông chứa $S$.

Các tam giác trong đáy:

Hình thang cân $ABCD$ với:

$AD \parallel BC,\ AB = BC,\ AD = 2AB$.

Xét:

- $\triangle ABC$: vuông tại $B$

- $\triangle BCD$: vuông tại $C$

Các tam giác còn lại không vuông.

$\Rightarrow$ Có $2$ tam giác vuông trong đáy.

Tổng số tam giác vuông: $5 + 2 = 7$

Chọn $\boxed{D}$.

Đáp án A

ABCD là hình thanh cân có AB = BC = CD = a; AD = 2a nên M là tâm của đáy ABCD.

SA = AD = 2a; SA ⊥ (ABCD) => tam giác SAD vuông cân tại A nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm N của SD

Gọi hình thang cân $ABCD$ có đáy $AD = 2a$, $AB = BC = CD = a$.

Đỉnh $S$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2a$, nên $S$ nằm thẳng đứng trên mặt đáy.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ là nửa khoảng cách giữa hai đỉnh đối nhau lớn nhất của chóp.

Xét các đỉnh: đỉnh cao $S$ và các đỉnh đáy. Đường chéo dài nhất từ $S$ đến một đỉnh đáy xa nhất. Giả sử $S$ trên đường thẳng đi qua trung điểm $AD$.

Chiều dài đường chéo lớn nhất: $SC$ (vì $C$ nằm xa $S$ nhất trong mặt đáy).

- Đặt hệ trục: $A(-a,0,0), D(a,0,0), B(-\frac{a}{2},h,0), C(\frac{a}{2},h,0)$, với $h$ là chiều cao của hình thang đáy.

- Tính $h$: $AB = BC = a$, $AD = 2a$, hình thang cân ⇒ $h = \sqrt{AB^2 - \left(\frac{AD - BC}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{2a - a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tọa độ $S$ trên trục vuông góc: $S(0,0,2a)$, $C(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

Khoảng cách $SC = \sqrt{ \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} - 0\right)^2 + (0 - 2a)^2 }

= \sqrt{ \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + 4a^2 } = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5} a$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: $R = \dfrac{SC}{2} = \dfrac{a \sqrt{5}}{2}$

Diện tích mặt cầu:

$S = 4 \pi R^2 = 4 \pi \left(\dfrac{a \sqrt{5}}{2}\right)^2 = 4 \pi \cdot \dfrac{5 a^2}{4} = 5 \pi a^2$

Đặt hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong mặt phẳng đáy.

Chọn: $A(-a,0,0),\; D(a,0,0) \quad (AD = 2a)$

Vì $AB = BC = a$ và $ABCD$ là hình thang cân nên đặt:

$B\left(-\frac{a}{2},h,0\right),\; C\left(\frac{a}{2},h,0\right)$

Ta có: $AB^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2$

$\Rightarrow h^2 = \frac{3a^2}{4}$

$\Rightarrow h = \frac{\sqrt3}{2}a$

Suy ra: $B\left(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt3}{2}a,0\right),\;C\left(\frac{a}{2},\frac{\sqrt3}{2}a,0\right)$

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt2$ nên: $S(-a,0,a\sqrt2)$

Gọi $O(0,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Ta có: $OA^2 = OB^2$

$OA^2 = a^2 + y^2 + z^2$

$OB^2 = \frac{a^2}{4} + \left(\frac{\sqrt3}{2}a - y\right)^2 + z^2$

Suy ra: $a^2 + y^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - \sqrt3 ay + y^2$

$\Rightarrow a^2 = a^2 - \sqrt3 ay$

$\Rightarrow y = 0$

Tiếp theo:

$OA^2 = OS^2$

$a^2 + z^2 = a^2 + (z - a\sqrt2)^2$

$\Rightarrow z^2 = z^2 - 2a\sqrt2 z + 2a^2$

$\Rightarrow 2a\sqrt2 z = 2a^2$

$\Rightarrow z = \frac{a}{\sqrt2}$

Bán kính mặt cầu: $R = OA = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{\sqrt2}\right)^2}$

$= \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{2}}$

$= a\sqrt{\frac{3}{2}}$

$= \frac{a\sqrt6}{2}$

$\boxed{R = \frac{a\sqrt6}{2}}$

Chọn D.

Đáp án B

Diện tích hình thang ABCD là:

S A B C D = A B . A D + B C 2 = 5

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:

V = 1 3 . S A . S A B C D = 1 3 . S A . S A B C D = 1 3 .2.5 = 10 3 (đvtt)

Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,B$ nên $AD \parallel BC$ và $AB \perp AD,\ AB \perp BC$.

Ta có: $AB = BC = 2,\ AD = 3$.

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC)\cdot AB}{2} = \dfrac{(3 + 2)\cdot 2}{2} = 5$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 2$ nên chiều cao khối chóp là $h = 2$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD}\cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 5 \cdot 2 = \dfrac{10}{3}$.

$V = \dfrac{10}{3}$.

Chọn C.

Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,B$ nên:

$AB \perp AD,\ AB \perp BC$.

Lại có $SA \perp (ABCD)$ nên:

$SA \perp AB,\ SA \perp AD,\ SA \perp BC$.

Xét các mặt bên:

Xét $\triangle SAB$:

$SA \perp AB \Rightarrow \triangle SAB$ vuông tại $A$.

Xét $\triangle SAD$:

$SA \perp AD \Rightarrow \triangle SAD$ vuông tại $A$.

Xét $\triangle SBC$:

Ta có $AB \perp BC$ và $SA \perp BC$ nên $BC \perp (SAB)$.

Suy ra $BC \perp SB \Rightarrow \triangle SBC$ vuông tại $B$.

Xét $\triangle SCD$:

Vì $CD \parallel AB$ nên $SA \perp CD$.

Do đó $\triangle SCD$ vuông tại $S$.

Vậy các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác vuông.

Đáp án B.

Hướng dẫn giải:Ta có

Suy ra tam giác SAD vuông cân tại A nên SA = AD =2a .

Trong hình thang ABCD , kẻ B H ⊥ A D ( H ∈ A D ) .

Do ABCD là hình thang cân nên A H = A D - B C 2 = a 2 .

Tam giác AHB ,có  B H = A B 2 - A H 2 = a 3 2

Diện tích S A B C D = 1 2 ( A D + B C ) . B H = 3 a 3 2 4  .

Vậy   V S . A B C D = 1 3 S A B C D . S A = a 3 3 2