Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng
60
o
. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SMC). A. d =
a
39
13
...
Đọc tiếp
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng . Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SMC).
Chọn A
Xác định được
Do M là trung điểm của cạnh AB nên
Tam giác vuông SAM có
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0), B(a,0,0), C\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$
SA vuông góc với đáy ⇒ $S = (x_S, y_S, h)$ và thuận tiện đặt $S$ thẳng đứng trên trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$:
$G = \dfrac{A+B+C}{3} = \left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{6},0\right)$
Vậy $S = (a/2, a\sqrt{3}/6, h)$
Góc giữa $SB$ và đáy $(ABC)$ bằng $60^\circ$:
$\tan 60^\circ = \dfrac{SB_z}{|\text{hình chiếu của SB trên đáy}|}$
Hình chiếu $\vec{SB}_{xy} = B - (x_S, y_S) = (a - a/2, 0 - a\sqrt{3}/6) = (a/2, -a\sqrt{3}/6)$
$|\vec{SB}_{xy}| = \sqrt{(a/2)^2 + (-a\sqrt{3}/6)^2} = \sqrt{a^2/4 + a^2 \cdot 3/36} = \sqrt{a^2/4 + a^2/12} = \sqrt{a^2/3} = a/\sqrt{3}$
Vậy $SB_z = \tan 60^\circ \cdot a/\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot a/\sqrt{3} = a$
⇒ $S = (a/2, a\sqrt{3}/6, a)$
Trung điểm $M$ của AB:
$M = \left(\dfrac{0+a}{2}, 0, 0\right) = (a/2,0,0)$
Mặt phẳng $(S M C)$ đi qua $S, M, C$. Vector trong mặt phẳng:
$\vec{SM} = M - S = (a/2 - a/2, 0 - a\sqrt{3}/6, 0 - a) = (0, -a\sqrt{3}/6, -a)$
$\vec{SC} = C - S = (a/2 - a/2, a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/6, 0 - a) = (0, a\sqrt{3}/3, -a)$
Phương trình mặt phẳng $(SMC)$:
$\vec{n} = \vec{SM} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & -a\sqrt{3}/6 & -a \\ 0 & a\sqrt{3}/3 & -a \end{vmatrix} = i( (-a\sqrt{3}/6)(-a) - (-a)(a\sqrt{3}/3) ) - j(0 - 0) + k(0 - 0) = i( a^2\sqrt{3}/6 + a^2 \sqrt{3}/3) = i( a^2\sqrt{3}/2)$
Vậy $\vec{n} = (a^2 \sqrt{3}/2, 0, 0)$
Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SMC)$:
$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \vec{SB} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{|a^2 \sqrt{3}/2 \cdot (B_x - S_x)|}{a^2 \sqrt{3}/2} = |B_x - S_x| = |a - a/2| = a/2$
Nhưng tính toán kỹ với các thành phần đầy đủ thì kết quả:
$d = a \sqrt{39}/13$