Câu 1: \(y=mx^3-2m\cdot x^2+\left(m-2\right)\cdot x+1\)

=>y'=\(m\cdot3x^2-2m\cdot2x+\left(m-2\right)=3m\cdot x^2-4m\cdot x+\left(m-2\right)\)

Để hàm số không có cực trị thì phương trình y'=0 vô nghiệm

=>\(3m\cdot x^2-4m\cdot x+\left(m-2\right)\) =0(1) vô nghiệm

TH1: m=0

(1) sẽ trở thành: \(3\cdot0\cdot x^2-4\cdot0\cdot x+0-2=0\)

=>-2=0(vô lý)

TH2: m<>0

\(\Delta=\left(-4m\right)^2-4\cdot3m\cdot\left(m-2\right)=16m^2-12m^2+24m=4m^2+24m\)

Để (1) vô nghiệm thì Δ<0

=>4m(m+6)<0

=>m(m+6)<0

=>-6<m<0

Ta có: \(y=\frac13x^3-mx^2+\left(m+1\right)x-1\)

=>y'=\(\frac13\cdot3x^2-m\cdot2x+\left(m+1\right)=x^2-2m\cdot x+\left(m+1\right)\)

=>y''=2x-2m

Để hàm số đạt cực tại tại x=-2 thì y'(-2)=0 và y''(-2)<0

=>\(\left(-2\right)^2-2m\cdot\left(-2\right)+m+1\) =0 và 2*(-2)-2m<0

=>4+4m+m+1=0 và -4-2m<0

=>5m=-5 và 2m+4>0

=>m=-1 và m>-2

=>m=-1

Sửa đề: đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung

\(y=x^3-\left(3m+1\right)x^2+\left(2m-1\right)x+m+1\)

=>y'=\(3x^2-\left(3m+1\right)\cdot2x+\left(2m-1\right)=3x^2-\left(6m+2\right)x+\left(2m-1\right)\)

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung thì phương trình y'=0 có hai nghiệm trái dấu

=>ac<0

=>3(2m-1)<0

=>2m-1<0

=>m<1/2

mà m là số tự nhiên

nên m=0

=>Chỉ có 1 số tự nhiên m duy nhất thỏa mãn

Để y xác định thì \(\left(m-2\right)x+2m-3\ge0\forall x\in\left[-1;4\right]\)

\(\Leftrightarrow mx-2x+2m-3\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x+2\right)-2x-3\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\ge\dfrac{2x+3}{x+2}\left(x+2>0\forall x\in\left[-1;4\right]\right)\)

\(\Rightarrow1\le m\le\dfrac{11}{6}\)