Đáp án C.

Đáp án A

*Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Để khoảng cách giữa hai đường thẳng d và ∆ nhỏ nhất thì ∆ chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (Oxy) và mp (Q).

* Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0 có VTPT  n Oxy →  = (0; 0; 1).

Đường thẳng d đi qua A(1;2; -3) và có VTCP u d →  = (1; -2; 0)

Suy ra, VTPT của (Q) là n Q →  = [ u d → ; n Oxy → ] = (2; 1; 0)

Phương trình mặt phẳng (Q) là: 2(x - 1) + 1(y - 2) + 0(z + 3) = 0

Hay 2x + y -4 =0

* Đường thẳng ∆ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (Oxy) và (Q). Tập hợp các điểm thuộc ∆ là nghiệm hệ phương trình: 

* Đặt x = 1 + t thay vào (1) ta được: y = 4 - 2x = 4 - 2(1 + t) = 2 - 2t

Suy ra, phương trình tham số của đường thẳng ∆ là: 

a: (Δ)//d nên Δ: -x+2y+c=0

=>VTPT là (-1;2)

=>VTCP là (2;1)

PTTS là:
x=3+2t và y=1+t

b: (d): -x+2y+1=0

=>Δ: 2x+y+c=0

Thay x=4 và y=-2 vào Δ, ta được:

c+8-2=0

=>c=-6

Chọn C

Gọi giao điểm của Δ và d là B nên ta có: B (3+t;3+3t;2t) 

Vì đường thẳng Δ song song với mặt phẳng (α) nên:

Phương trình đường thẳng Δ đi qua A và nhận

Đáp án C.

Cách 1: Gọi A ( t ; 1 + 2 t ; 6 + 3 t )  và B 1 + t ' ; - 2 + t ' ; 3 - t '  lần lượt là giao điểm của ∆  với d và d'. Ta có: A B → = 1 + t ' - t ' ; - 3 + t ' - 2 t ; - 3 - t ' - 3 t .

Vì ∆  song song với trục Oz mà trục Oz có vtcp k   → = 0 ; 0 ; 1 .

Suy ra 1 + t ' - t = 0 - 3 + t ' - 2 t = 0 ⇔ t = - 4 t ' = - 5 .

Vậy A = - 4 ; - 7 ; - 6 . Do đó  ∆   có phương trình tham số x = - 4 y = - 7 z = - 6 + t .

Cách 2: Trục Oz có vtcp u o z → = 0 ; 0 ; 1 .

Đường thẳng d đi qua M(0;1;6) và vtcp u d → = 1 ; 2 ; 3 .

Đường thẳng d' đi qua N(1;-2;3) và có vtcp u d ' → = 1 ; 1 ; - 1 .

- Gọi (P) là mặt phẳng song song với trục Oz và chứa d : x 1 = y - 1 2 = z - 6 3  

⇒ n ( P ) → = u O z → , u d → = - 2 ; 1 ; 0 .

Mặt phẳng (P) có phương trình - 2 x + ( y - 1 ) = 0 ⇔ - 2 x + y - 1 = 0 .

- Gọi Q  là mặt phẳng song song với trục Oz và chứa d ' : x - 1 1 = y + 2 1 = z - 3 - 1   song song với trục Oz và chứa d ' = x - 1 1 = y + 2 1 = z - 3 - 1  

⇒ n Q → = u O z → , u d ' → = - 1 ; 1 ; 0 .

Mặt phẳng  Q  có phương trình

- 1 ( x + 1 ) + 1 . ( y + 2 ) + 0 . ( z - 3 ) = 0 ⇔ - x + y + 3 = 0 .

- Đường thẳng ∆ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng  Q .

Gọi A ∈ ∆ ⇒ A ∈ P , A ∈ P , A ∈ Q ⇒ A - 4 ; - 7 ; - 6 .

Đường thẳng ∆ có vtcp u ∆ → cùng phương với n P → , n Q → = 0 ; 0 ; - 1 .

⇒ ∆ : x = - 4 y = - 7           t ∈ ℝ z = - 6 + t .