Tìm hệ số của số hạng chứa  $x^3$ trong khai triển nhị thức Niutơn  ${(2x-1)}^6$

Cho biểu thức P = ${\left(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{10}$với x > 0. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn P.

Trong khai triển nhị thức Niutơn của ${\left(1+3\mathrm{x}\right)}^9$ số hạng thứ 3 theo số mũ tăng dần của x là

Trong khai triển nhị thức Niutơn của ${\left(a+2\right)}^{n+6}$ có tất cả 17 số hạng . Khi đó giá trị n bằng

Trong khai triển nhị thức Niutơn của ${\left(a+2\right)}^{n+6}$  có tất cả 2019 số hạng . Khi đó giá trị n bằng

Biết rằng khi khai triển nhị thức Niutơn $$\begin{gathered} {\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt[4]{x}}\right)}^n=a_0\sqrt{x^n}+a_1\sqrt{x^{n-1}}\frac{1}{\sqrt[4]{x}} \\ +a_2\sqrt{x^{n-2}}{\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)}^2++a_3\sqrt{x^{n-3}}{\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)}^3... \end{gathered}$$(với n là số nguyên lớn hơn 1) thì ba số $a_0, a_1, a_2$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Hỏi trong khai triển trên, có bao nhiêu số hạng mà lũy thừa của x là một số nguyên.

Biết rằng khi khai triển nhị thức Niutơn  ${\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt[4]{x}}\right)}^n=a_0\sqrt{x^n}+a_1\sqrt{x^{n-1}}.\frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ + $a_2\sqrt{x^{n-2}}.{\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)}^2+a_3\sqrt{x^{n-3}}.{\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)}^3...$(với n là số nguyên lớn hơn 1) thì ba số $a_0,a_1,a_2$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Hỏi trong khai triển trên, có bao nhiêu số hạng mà lũy thừa của x là một số nguyên.

Gọi $a_{2018}$ là hệ số của số hạng chứa $x^{2018}$ trong khai triển nhị thức Niutơn ${\left(x-\sqrt{x}\right)}^n$ với $x\ge 0$; n là số nguyên dương thỏa mãn $\frac{1}{2!.2017!}+\frac{1}{4!.2015!}+\frac{1}{6!.2013!}\mathrm{...}+\frac{1}{2016!.3!}+\frac{1}{2018!}=\frac{2^{2018}-1}{P_n}$. Tìm $a_{2018}$