1: Gọi d=ƯCLN(21n+4;14n+3)

=>21n+4⋮d và 14n+3⋮d

=>42n+8⋮d và 42n+9⋮d

=>42n+9-42n-8⋮d

=>1⋮d

=>d=1

=>ƯCLN(21n+4;14n+3)=1

Bg

C1: Ta có: n chia hết cho 11 dư 4 (n \(\inℕ\))

=> n = 11k + 4  (với k \(\inℕ\))

=> n² = (11k)² + 88k + 4² 

=> n² = (11k)² + 88k + 16  

Vì (11k)² \(⋮\)11, 88k \(⋮\)11 và 16 chia 11 dư 5

=> n² chia 11 dư 5

=> ĐPCM

C2: Ta có: n = 13x + 7 (với x \(\inℕ\))

=> n² - 10 = (13x)² + 14.13x + 7² - 10

=> n² - 10 = (13x)² + 14.13x + 39

Vì (13x)² \(⋮\)13, 14.13x \(⋮\)13 và 39 chia 13 nên n² - 10 = (13x)² + 14.13x + 39 \(⋮\)13

=> n² - 10 \(⋮\)13

=> ĐPCM

vbvcnvbnvvb

A=(m+2n+1)(3m-2n+2)

=(m+2n+1)(-m-2n-2+4m+4)

=-(m+2n+1)(m+2n+2)+(4m+4)(m+2n+1)

=-(m+2n+1)(m+2n+2)+4(m+1)(m+2n+1)

Vì m+2n+1;m+2n+2 là hai số tự nhiên liên tiếp

nên (m+2n+1)(m+2n+2)⋮2

=>-(m+2n+1)(m+2n+2)⋮2(1)

4(m+1)(m+2n+1)⋮2(2)

Từ (1),(2) suy ra -(m+2n+1)(m+2n+2)+4(m+1)(m+2n+1)⋮2

=>A⋮2(ĐPCM)

Đặt A=11..121..1

=>A=11..11²

Vì thế A có ít nhất 3 ước là 1;11...11 và chính A

=>AA là hợp số

Tick nha

Lời giải:

Đặt $n+1=a^2$ và $2n+1=b^2$ với $a,b$ là số tự nhiên.

Vì $2n+1$ lẻ nên $b^2$ lẻ. SCP lẻ chia $4$ dư $1$ nên $2n+1$ chia $4$ dư $1$

$\Rightarrow 2n\vdots 4$

$\Rightarrow n\vdots 2$

$\Rightarrow n+1=a^2$ lẻ. Ta biết SCP lẻ chia $8$ dư $1$ nên $n+1=a^2$ chia $8$ dư $1$

$\Rightarrow n\vdots 8(1)$

Mặt khác:

Nếu $n$ chia 3 dư $1$ thì $n+1$ chia $3$ dư $2$ (vô lý vì 1 SCP chia 3 dư 0 hoặc 1)

Nếu $n$ chia $3$ dư $2$ thì $2n+1$ chia $3$ dư $2$ (cũng vô lý)

Do đó $n$ chia hết cho $3(2)$ 

Từ $(1);(2)$ mà $(3,8)=1$ nên $n\vdots 24$ (đpcm)

Vì 2n+1 là số chính phương lẻ nên 

Do đó n+1 cũng là số lẻ, suy ra

Lại có

Ta thấy

Suy ra

Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ nên

Do đó

Vậy ta có đpcm.