a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

=>HB=HC; \(\hat{HAB}=\hat{HAC}\)

Xét ΔAEH vuông tại E và ΔAFH vuông tại F có

AH chung

\(\hat{EAH}=\hat{FAH}\)

Do đó: ΔAEH=ΔAFH

=>AE=AF và HE=HF

Xét ΔAEF có AE=AF

nên ΔAEF cân tại A

b: Xét ΔABC có \(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

nên EF//BC

c: Xét ΔHEN vuông tại E và ΔHFM vuông tại F có

HE=HF

\(\hat{EHN}=\hat{FHM}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHEN=ΔHFM

=>HN=HM

=>ΔHNM cân tại H

a) \(\widehat{DAC}=\widehat{DAB}+\widehat{BAC}=\widehat{CAE}+\widehat{BAC}=\widehat{BAE}\)

\(AD=AB;AC=AE\)

\(\Rightarrow\)△ADC=△ABE (c-g-c).

b) AB cắt DC tại F.

 \(90^0=\widehat{DAF}=180^0-\widehat{DFA}-\widehat{ADF}=180^0-\widehat{BFK}-\widehat{FBK}=\widehat{FKB}\)

\(DB^2+KC^2=DK^2+KB^2+BC^2-KB^2=BC^2+DK^2\)

a) \(\widehat{DAC}=\widehat{DAB}+\widehat{BAC}=\widehat{CAE}+\widehat{BAC}=\widehat{BAE}\)

\(AD=AB;AC=AE\)

\(\Rightarrow\)△ADC=△ABE (c-g-c).

b) AB cắt DC tại F.

 \(90^0=\widehat{DAF}=180^0-\widehat{DFA}-\widehat{ADF}=180^0-\widehat{BFK}-\widehat{FBK}=\widehat{FKB}\)

\(DB^2+KC^2=DK^2+KB^2+BC^2-KB^2=BC^2+DK^2\)

c) Trên tia đối IA lấy G sao cho IA=IG

\(\Rightarrow\)△ADI=△GEI (c-g-c) \(\Rightarrow\)AD//GE.

△DGI=△EAI (c-g-c) \(\Rightarrow\)DG//AE ; DG=AE=AC.

\(90^0+\widehat{BAH}+\widehat{DAG}+90^0+\widehat{GAE}+\widehat{HAC}=360^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}+\widehat{DAE}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{ADG}\)

\(\Rightarrow\)△ADG=△BAC (c-g-c).

\(\widehat{ABC}+\widehat{BAH}=\widehat{DAG}+\widehat{BAH}=90^0\)

a: Ta có: \(\hat{DAC}=\hat{DAB}+\hat{BAC}=90^0+\hat{BAC}\)

\(\hat{BAE}=\hat{BAC}+\hat{EAC}=90^0+\hat{BAC}\)

Do đó: \(\hat{DAC}=\hat{BAE}\)

Xét ΔDAC và ΔBAE có

DA=BA

\(\hat{DAC}=\hat{BAE}\)

AC=AE

Do đó: ΔDAC=ΔBAE

b: ΔDAC=ΔBAE

=>\(\hat{ADC}=\hat{ABE}\) và DC=BE

Xét tứ giác ADBK có \(\hat{ADK}=\hat{ABK}\)

nên ADBK là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{DKB}=\hat{DAB}=90^0\)

=>DC⊥BE tại K

ΔDKB vuông tại K

=>\(DK^2+KB^2=DB^2\)

=>\(DB^2-DK^2=KB^2\)

ΔBKC vuông tại K

=>\(BK^2+KC^2=BC^2\)

=>\(BC^2-CK^2=BK^2\)

=>\(DB^2-DK^2=BC^2-CK^2\)

=>\(DB^2+CK^2=BC^2+DK^2\)

c: Trên tia đối của tia IA, lấy M sao cho IA=IM

Xét ΔIME và ΔIAD có

IM=IA

\(\hat{MIE}=\hat{AID}\) (hai góc đối đỉnh)

IE=ID

Do đó: ΔIME=ΔIAD

=>\(\hat{IME}=\hat{IAD}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên ME//AD
=>\(\hat{DAE}+\hat{AEM}=180^0\)

TA có: \(\hat{DAE}+\hat{DAB}+\hat{BAC}+\hat{EAC}=360^0\)

=>\(\hat{DAE}+\hat{BAC}=360^0-90^0-90^0=180^0\)

=>\(\hat{AEM}=\hat{CAB}\)

ΔIAD=ΔIME

=>AD=ME

mà AD=AB

nên ME=AB

Xét ΔAEM và ΔCAB có

AE=CA

\(\hat{AEM}=\hat{CAB}\)

EM=AB

Do đó: ΔAEM=ΔCAB

=>\(\hat{EAM}=\hat{ACB}\)

Ta có: \(\hat{EAM}+\hat{EAC}+\hat{HAC}=180^0\)

=>\(\hat{EAM}+\hat{HAC}=180^0-90^0=90^0\)

=>\(\hat{HAC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>ΔAHC vuông tại H

=>IA⊥BC tại H

Câu a)
Ta có : góc BAD = góc CAE ( = 90 độ )
=> góc BAD + góc BAC = góc CAE + góc BAC
=> góc DAC = góc BAE
Xét tam giác DAC và tam giác BAE có :
góc DAC = góc BAE ( CMT )
AD = AB ( do tam giác ABD vuông cân tại A )
AC = AE ( do tam giác ACE vuông cân tại A )
=> tam giác DAC = tam giác BAE ( cgc )
=> DC = BE ( cặp cạnh tương ứng )
và góc ADC = góc ABE ( cặp góc tương ứng )
Gọi DC giao BE tại H
Gọi DC giao AB tại O
Do tam giác ADO vuông tại A ( GT )
=> góc ODA + góc DOA = 90 độ
Mà góc ODA = góc ABH ( CMT )
và góc DOA = BOH ( 2 góc đối đỉnh )
=> góc BOH + góc OHB = 90 độ
=> tam giác OBH vuông tại H
=> OH vuông góc BH
hay DC vuông góc BE
Vậy....

câu a + câu b