Đáp án A

Đặt Từ giả thiết

Tìm GTNN của hàm số

M=x+yxy.1z≥2√xyxy.1z=2z√xy≥2z(x+y2)=4z(x+y)M=x+yxy.1z≥2xyxy.1z=2zxy≥2z(x+y2)=4z(x+y)

=4z(1−z)=414−(z−12)2≥16=4z(1−z)=414−(z−12)2≥16

Min M= 16 khi  z=1/2 và  x=y =1/4

Vì $x,y,z>0$ và $x+y+z=xyz$ nên $\dfrac{x+y+z}{xyz}=1$

$\Leftrightarrow\dfrac1{yz}+\dfrac1{xz}+\dfrac1{xy}=1.$

Đặt $a=\dfrac1x,\quad b=\dfrac1y,\quad c=\dfrac1z.$

Khi đó $ab+bc+ca=1.$

Ta có $S=\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y}{z^2}+\dfrac{z}{x^2}$

$=\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{c}$

$\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c}$$=a+b+c.$

Mặt khác, $(a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow(a+b+c)^2\ge3$

$\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt3.$

Suy ra $S\ge\sqrt3.$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\dfrac1{\sqrt3}$

$\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt3.$

Khi đó điều kiện $x+y+z=xyz$ được thỏa mãn. Vậy $S_{\min}=\sqrt3.$

https://diendantoanhoc.net/topic/182493-%C4%91%E1%BB%81-thi-tuy%E1%BB%83n-sinh-v%C3%A0o-l%E1%BB%9Bp-10-%C4%91hsp-h%C3%A0-n%E1%BB%99i-n%C4%83m-2018-v%C3%B2ng-2/

bài này năm trrong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ĐHSP Hà Nội Năm 2018 (vòng 2) bn có thể tìm đáp án trên mạng để tham khảo

\(4\le\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\ge4\)

\(\Rightarrow2\le\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\Rightarrow x+y\ge2\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

Trước hết áp dụng BĐT: \(ab\le\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)

Ta có: \(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{x}+1+\sqrt{y}+1\right)^2\)

Mà \(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)\ge4\Rightarrow\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\right)^2\ge4\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\right)^2\ge4^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\ge4\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\)

Lại áp dụng tiếp: \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)

Ta được: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2\left(x+y\right)}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\)

Bình phương lên: \(2\left(x+y\right)\ge4\Rightarrow x+y\ge2\)

Phần cuối chắc là hoàn toàn cơ bản rồi

\(\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right)+\left(x\sqrt{x}-y\sqrt{y}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x+\sqrt{xy}+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y\)

\(\Rightarrow S=2x^2-8x+5=2\left(x-2\right)^2-3\ge-3\)

Tại sao từ:\(\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right)\)  lại => đc: \(\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}\)??????????