a: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền BA, ta được:

\(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền CA, ta được:

\(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

hay \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Xét ΔAEF vuông tại A và ΔACB vuông tại A có 

\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔACB

câu c đâu bạn

a: ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{ACB}=90^0-30^0=60^0\)

CD là phân giác của góc ACB

=>\(\hat{ACD}=\hat{BCD}=\frac12\cdot60^0=30^0\)

Xét ΔDBC có \(\hat{DBC}=\hat{DCB}\left(=30^0\right)\)

nên ΔDBC cân tại D

Xét ΔCAD vuông tại A và ΔCHD vuông tại H có

CD chung

\(\hat{ACD}=\hat{HCD}\)

Do đó: ΔCAD=ΔCHD

=>CA=CH và DA=DH

Xét ΔCAH có CA=CH và \(\hat{ACH}=60^0\)

nên ΔCAH đều

b: ΔCAH đều

=>\(\hat{CAH}=\hat{CHA}=60^0\)

Ta có: \(\hat{CAH}+\hat{HAB}=\hat{CAB}\)

=>\(\hat{HAB}=90^0-60^0=30^0\)

Xét ΔHAB có \(\hat{HAB}=\hat{HBA}\left(=30^0\right)\)

nên ΔHAB cân tại H

=>HA=HB

mà HA=HC

nên HB=HC

=>H là trung điểm của BC

=>BC=2CH=2CA

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AB^2=BC^2-AC^2=3\cdot AC^2\)

=>\(3\cdot AC^2=5^2=25\)

=>\(AC^2=\frac{25}{3}\)

=>\(AC=\frac{5\sqrt3}{3}\left(\operatorname{cm}\right)\)

=>\(BC=2\cdot AC=2\cdot\frac{5\sqrt3}{3}=\frac{10\sqrt3}{3}\left(\operatorname{cm}\right)\)

c: Xét ΔCHI vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có

CH=CA
\(\hat{HCI}\) chung

Do đó: ΔCHI=ΔCAB

=>CI=CB

Xét ΔCBI có CI=CB và \(\hat{BCI}=60^0\)

nên ΔBCI đều

TA CÓ TAM GIÁC ABC VUÔNG TẠI B , AD ĐL PYTAGO TA CÓ

\(AB^2+BC^2=AC^2\)

=>\(8^2+15^2=289=>AC^{ }=17\)

=>AC=17 CM

A B C E

a: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

b: BH=BC/2=3(cm)

=>AH=4(cm)

c: Ta có: AH là đường trung tuyến

mà AG là đường trung tuyến

nên A,H,G thẳng hàng

d: Xét ΔABG và ΔACG có

AB=AC

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)

AG chung

Do đó: ΔABG=ΔACG

a) có BE là tia p/g của góc ABC

       => góc B₁ = góc B₂ = góc ABC/2 = 60⁰ /2 = 30⁰

  có △ABC vuông tại A => △ABE vuông tại A

         EH⊥BC=> △HBE vuông tại H

Xét △ vuông ABE và △vuông HBE có

             góc B₁ = góc B₂

                    BE chung

=>△ vuông ABE =△vuông HBE ( cạnh huyền - góc nhọn)

b) có △ABE vuông tại A=> góc B₁ + góc E₁ = 90⁰

                                         góc E₁ = 60⁰   ( vì góc B₁ = 30⁰)

có △ vuông ABE =△vuông HBE

    => góc E₁ = góc E₂ 

mà HK//BE => góc E₁ = góc K₁     (ĐV)

                       và góc E₂ = góc H₁ (SLT)

=> góc E₁ = góc E₂ = góc K₁=góc H₁ = 60⁰

 => △HEK đều

c) có góc E₁ = góc E₂ ; góc E₃ = góc E₄

  =>góc E₁ +góc E₄ = góc E₂ + góc E₃

=> góc BEM= góc BEC

Xét △BEM và △ BEC có

             góc B₁ = góc B₂

                   BE chung

          góc BEM= góc BEC

=> △BEM = △ BEC (g.c.g)

=>BM=BC

=>△BMC cân tại B

trong △BMC có BN là đường p/g xuất phát từ đỉnh B

lại có △BMC cân tại B

=> BN cũng là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B

=> N là trung điểm của MC

=> NM=NC

a) Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

nên \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

\(\Leftrightarrow\widehat{C}+60^0=90^0\)

hay \(\widehat{C}=30^0\)

Vậy: \(\widehat{C}=30^0\)

a) Xét ΔABC có \(\widehat{C}< \widehat{B}< \widehat{A}\left(30^0< 60^0< 90^0\right)\)

mà cạnh đối diện với góc C là cạnh AB

và cạnh đối diện với góc B là cạnh AC

và cạnh đối diện với góc A là cạnh BC

nên AB<AC<BC(đpcm)