Đường tròn (C) tâm \(I\left(0;0\right)\) bán kính R=1

Đường tròn \(\left(C_m\right)\) tâm \(I'\left(m+1;-2m\right)\) bán kính \(R'=\sqrt{5m^2+2m+6}\)

Ta có: \(II'=\sqrt{\left(m+1\right)^2+\left(2m\right)^2}=\sqrt{5m^2+2m+1}\)

Hai đường tròn tiếp xúc nhau khi:

\(\left[{}\begin{matrix}II'=R+R'\\II'=\left|R-R'\right|\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{5m^2+2m+1}=\sqrt{5m^2+2m+6}+1\left(vn\right)\\\sqrt{5m^2+2m+1}=\sqrt{5m^2+2m+6}-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{5m^2+2m+1}+1=\sqrt{5m^2+2m+6}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{5m^2+2m+1}=2\) 

\(\Leftrightarrow5m^2+2m-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

a: \(y=x^3+x-3\)

=>y'=\(3x^2+1\)

\(f\left(-1\right)=\left(-1\right)^3+\left(-1\right)-3=-1-1-3=-5\)

f'(-1)=\(3\cdot\left(-1\right)^2+1=4\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=-1 là:

y-f(-1)=f'(-1)(x+1)

=>y-(-5)=4(x+1)=4x+4

=>y+5=4x+4

=>y=4x-1

b: \(y=x^3-3x^2\)

=>y'=\(3x^2-3\cdot2x=3x^2-6x\)

Đặt y=-4

=>\(x^3-3x^2=-4\)

=>\(x^3-3x^2+4=0\)

=>(x+1)(x^2-4x+4)=0

=>x=-1 hoặc x=2

TH1: x=-1

y'(-1)=\(3\cdot\left(-1\right)^2-6\cdot\left(-1\right)=3+6=9\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=-1 là:

y-f(-1)=f'(-1)(x+1)

=>y-(-4)=9(x+1)=9x+9

=>y=9x+9-4=9x+5

TH2: x=2

=>y'(2)=\(3\cdot2^2-6\cdot2=0\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=2 là:

y-f(2)=f'(2)(x-2)

=>y-(-4)=0(x-2)

=>y=-4

c: \(y=\frac{x-3}{2x+1}\)

=>y'=\(\frac{\left(x-3\right)^{\prime}\left(2x+1\right)-\left(x-3\right)\left(2x+1\right)^{\prime}}{\left(2x+1\right)^2}=\frac{2x+1-2\left(x-3\right)}{\left(2x+1\right)^2}=\frac{7}{\left(2x+1\right)^2}\)

\(f\left(-1\right)=\frac{-1-3}{2\cdot\left(-1\right)+1}=\frac{-4}{-2+1}=\frac{-4}{-1}=4\)

f'(-1)=\(\frac{7}{\left\lbrack2\cdot\left(-1\right)+1\right\rbrack^2}=7\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=-1 là:

y-f(-1)=f'(-1)(x+1)

=>y-4=7(x+1)=7x+7

=>y=7x+11

Bài 3:

a: \(y=\frac13x^3-2x^2+3x+1\)

=>y'=\(\frac13\cdot3x^2-2\cdot2x+3=x^2-4x+3\)

Gọi (d) là phương trình tiếp tuyến

(d)//y=-3/4

=>\(x^2-4x+3=-\frac34\)

=>\(x^2-4x+4=1-\frac34=\frac14\)

=>\(\left(x-2\right)^2=\frac14\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-2=\frac12\\ x-2=-\frac12\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac52\\ x=\frac32\end{array}\right.\)

TH1: x=5/2

\(f\left(\frac52\right)=\frac13\cdot\left(\frac52\right)^3-2\cdot\left(\frac52\right)^2+3\cdot\frac52+1=\frac13\cdot\frac{125}{8}-2\cdot\frac{25}{4}+\frac{15}{2}+1=\frac{125}{24}-\frac{25}{2}+\frac{15}{2}+1\)

\(=\frac{125}{24}-5+1=\frac{125}{24}-4=\frac{125-96}{24}=\frac{29}{24}\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=5/2 là:

y-f(5/2)=f'(5/2)(x-5/2)

=>y-29/24=-3/4(x-5/2)

=>\(y-\frac{29}{24}=-\frac34x+\frac{15}{8}\)

=>\(y=-\frac34x+\frac{15}{8}+\frac{29}{24}=\frac{-3}{4}x+\frac{74}{24}=-\frac34x+\frac{37}{12}\)

TH2: x=3/2

\(f\left(\frac32\right)=\frac13\cdot\left(\frac32\right)^3-2\cdot\left(\frac32\right)^2+3\cdot\frac32+1=\frac13\cdot\frac{27}{8}-2\cdot\frac94+\frac92+1=\frac98+1=\frac{17}{8}\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=3/2 là:

y-f(3/2)=f'(3/2)(x-3/2)

=>y-17/8=-3/4(x-3/2)=-3/4x+9/8

=>\(y=-\frac34x+\frac98+\frac{17}{8}=-\frac34x+\frac{26}{8}=-\frac34x+\frac{13}{4}\)

1: x^2+y^2+6x-2y=0

=>x^2+6x+9+y^2-2y+1=10

=>(x+3)^2+(y-1)^2=10

=>R=căn 10; I(-3;1)

Vì (d1)//(d) nên (d1): x-3y+c=0

Theo đề, ta có: d(I;(d1))=căn 10

=>\(\dfrac{\left|-3\cdot1+1\cdot\left(-3\right)+c\right|}{\sqrt{1^2+\left(-3\right)^2}}=\sqrt{10}\)

=>|c-6|=10

=>c=16 hoặc c=-4

1.

Trục Ox có pt \(y=0\) nên đường song song với nó là \(y=4\)

2.

\(\overrightarrow{MI}=\left(1;-2\right)\)

Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tâm I tại M đi qua M và vuông góc MI nên nhận \(\overrightarrow{MI}\) là 1 vtpt

Phương trình:

\(1\left(x-1\right)-2\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x-2y+5=0\)

Do đường tròn tiếp xúc với trục Ox nên R = d(I,Ox) = |yI|.

Phương trình trục Ox là y = 0

Đáp án D đúng vì: Tâm I(−3;\(\dfrac{-5}{2}\)) và bán kính R=\(\dfrac{5}{2}\). Ta có   

d(I, Ox) = |yI| = R.

Phương trình \(\left(C_m\right)\) viết lại: 

\(y=\left(x-m+2\right)^3-3\left(x-m+2\right)\)

Họ đồ thị hàm \(\left(C_m\right)\) đơn giản là đồ thị hàm \(y=x^3-3x\) tịnh tiến song song với trục Ox, do đó họ đồ thị này luôn tiếp xúc với các tiếp tuyến tại cực trị của \(y=x^3-3x\) (là hai đường thẳng \(y=\pm2\))

Vậy họ đường cong \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định \(y=\pm2\)