\(\Delta=\left\lbrack-2\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(m^2-3m\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1\right)-4\left(m^2-3m\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1-m^2+3m\right)=4\left(m+1\right)\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>4(m+1)>0

=>m+1>0

=>m>-1

Theo Vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m-1\right);x_1x_2=\frac{c}{a}=m^2-3m\)

d:

ii:

\(x_1+x_2=2\left(m-1\right)\)

=>\(2x_1+2x_2=4\left(m-1\right)=4m-4\)

mà \(2x_1-3x_2=8\)

nên \(2x_1+2x_2-2x_1+3x_2=4m-4-8\)

=>\(5x_2=4m-12\)

=>\(x_2=\frac{4m-12}{5}\)

=>\(x_1=2\left(m-1\right)-\frac{4m-12}{5}=\frac{10\left(m-1\right)-4m+12}{5}=\frac{10m-10-4m+12}{5}=\frac{6m+2}{5}\)

\(x_1x_2=m^2-3m\)

=>\(m^2-3m=\frac{\left(6m+2\right)\left(4m-12\right)}{25}\)

=>\(25m^2-75m=24m^2-72m+8m-24=24m^2-64m-24\)

=>\(m^2-11m+24=0\)

=>(m-3)(m-8)=0

=>m=3(nhận) hoặc m=8(nhận)

e:

iv:

\(x_1^2+x_2^2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=\left(2m-2\right)^2-2\left(m^2-3m\right)\)

\(=4m^2-8m+4-2m^2+6m=2m^2-2m+4\)

\(=2\left(m^2-m+2\right)=2\left(m^2-m+\frac14+\frac74\right)\)

\(=2\left(m-\frac12\right)^2+\frac72\ge\frac72\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m-1/2=0

=>m=1/2(nhận)

v: \(\left(2x_1-3\right)\left(2x_2-3\right)>1\)

=>\(4x_1x_2-6x_1-6x_2+9>1\)

=>\(4x_1x_2-6\left(x_1+x_2\right)+8>0\)

=>\(2x_1x_2-3\left(x_1+x_2\right)+4>0\)

=>\(2\left(m^2-3m\right)-3\left(2m-2\right)+4>0\)

=>\(2m^2-6m-6m+6+4>0\)

=>\(2m^2-12m+10>0\)

=>\(m^2-6m+5>0\)

=>(m-5)(m-1)>0

=>m>5 hoặc m<1

mà m>-1

nên m>5 hoặc -1<m<1

Bài 2:

\(b,\Delta=4\left(m+1\right)^2-4m\left(m+2\right)\\ =4m^2+8m+4-4m^2-8m=4>0,\forall m\)

Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Khi đó \(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{2\left(m+1\right)-2}{2}=m\\x=\dfrac{2\left(m+1\right)+1}{2}=m+2\end{matrix}\right.\)

Bài 3:

Gọi nghiệm chung 2 PT là \(x_1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-\left(m+4\right)x_1+m+5=0\left(1\right)\\x_1^2-\left(m+2\right)x_1+m+1=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left(1\right)-\left(2\right)=-\left(m+4\right)x_1+m+5+\left(m+2\right)x_1-m-1=0\\ \Leftrightarrow x_1\left(-m-4+m+2\right)+4=0\\ \Leftrightarrow-2x_1=-4\Leftrightarrow x_1=-2\)

Thay \(x_1=-2\) vào \(\left(2\right)\Leftrightarrow4+2\left(m+2\right)+m+1=0\)

\(\Leftrightarrow3m+9=0\Leftrightarrow m=-3\)

Bài 2:

\(a,\forall m=0\\ PT\Leftrightarrow-2\left(m-1\right)x=-2\left(m-1\right)\Leftrightarrow x=1\\ \forall m\ne0\\ \Delta=4\left(m-1\right)^2-8m\left(m-1\right)\\ =4m^2-8m+4-8m^2+8m\\ =4-4m^2\)

PT vô nghiệm \(\Leftrightarrow4-4m^2< 0\Leftrightarrow m^2>1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\)

PT có nghiệm kép \(\Leftrightarrow4-4m^2=0\Leftrightarrow\left(1-m\right)\left(1+m\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(x=\dfrac{2\left(m-1\right)}{2m}=\dfrac{m-1}{m}\)

PT có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow4-4m^2>0\Leftrightarrow-1< m< 1;m\ne0\)

Khi đó \(x=\dfrac{2\left(m-1\right)\pm\sqrt{4-4m^2}}{2m}=\dfrac{2\left(m-1\right)\pm2\sqrt{1-m^2}}{2m}=\dfrac{m-1\pm\sqrt{1-m^2}}{2}\)

Bài 3:

a: Bảng giá trị:

Vẽ đồ thị:

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(2x^2=-x+3\)

=>\(2x^2+x-3=0\)

=>\(2x^2+3x-2x-3=0\)

=>(2x+3)(x-1)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}2x+3=0\\ x-1=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\frac32\\ x=1\end{array}\right.\)

Khi x=-3/2 thì \(y=-x+3=-\left(-\frac32\right)+3=\frac92\)

Khi x=1 thì y=-x+3=-1+3=2

Vậy: (P) cắt (d) tại A(-3/2;9/2): B(1;2)

Bài 2:

a: Thay \(x=-\sqrt3;y=6\) vào (P), ta được:

\(\frac{a}{2}\cdot\left(-\sqrt3\right)^2=6\)

=>\(a\cdot\frac32=6\)

=>\(a=6:\frac32=6\cdot\frac23=4\)

b: KHi a=4 thì (P): \(y=\frac42\cdot x^2=2x^2\)

Vẽ đồ thị:

Thay x=3 vào (P), ta được:

\(y=2\cdot3^2=2\cdot9=18\)

Vậy: Điểm cần tìm là C(3;18)

Bài 2:

a, Do tam giác MNP cân tại M nên MN=MP

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}MN=\dfrac{1}{2}MP\Rightarrow MO=ON=MO'=O'P\)

\(\Rightarrow MO=OD=DO'=O'M\) (OD và O'D là các bán kính của (O) và (O'))

Do đó MODO' là hthoi

\(\Rightarrow\widehat{OMO'}=\widehat{ODO'}\)

Lại có \(ON=OD\Rightarrow\widehat{OND}=\widehat{ODN};DO'=O'P\Rightarrow\widehat{O'DP}=\widehat{O'PD}\)

\(\Rightarrow\widehat{NDP}=\widehat{NDO}+\widehat{ODO'}+\widehat{O'DP}=\widehat{OND}+\widehat{O'PD}+\widehat{OMO'}=180^0\)

Vậy \(\widehat{NDP}\) là góc bẹt hay N,D,P thẳng hàng

b, Vì \(\left\{{}\begin{matrix}MO=ON\\MO'=O'P\end{matrix}\right.\) nên OO' là đtb tg MNP

Do đó OO'//NP

Mà OO'⊥MD (hthoi MODO')

Suy ra NP⊥MD

Mà tam giác MNP cân tại M nên MD cũng là trung tuyến

\(\Rightarrow ND=DP\\ \Rightarrow\stackrel\frown{DN}=\stackrel\frown{DP}\)

c, Vì O'D là đtb tg MNP nên O'D//OE hay OO'DE là hình thang

Mà OD=O'E (do là bán kính 2 đg tròn (O) và (O')) nên OO'DE là htc

Do đó OO'DE nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{O'OD}=\widehat{O'ED}\) (cùng chắn O'D)

Mà tam giác OO'D và O'ED cân tại D và O' nên \(\widehat{EO'D}=\widehat{ODO'}\left(180^0-2\widehat{O'OD}=180^0-2\widehat{O'ED}\right)\)

Mà \(\widehat{OMO'}=\widehat{ODO'}\Rightarrow\widehat{OMO'}=\widehat{EO'D}\)

Mà \(\widehat{OMO'}=\widehat{DO'P}\) (đồng vị) \(\Rightarrow\widehat{DO'P}=\widehat{EO'D}\)

\(\Rightarrow\stackrel\frown{ED}=\stackrel\frown{DP}\) hay ta đc đpcm

Em cám ơn Anh/Chị ạ

Em tách ra 1-2 bài/1 câu hỏi để mọi người hỗ trợ nhanh nhất nha!

Bài 3: 

a: Ta có: \(B=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}\right):\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{2-x}{x\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\)

\(=\dfrac{x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}:\dfrac{2\sqrt{x}+2-2+x}{x\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}\)

Bài 5: 

a: Để đây là hàm số bậc nhất thì m+5<>0

hay m<>-5

a) \(P=\dfrac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\sqrt{9}+5}{\sqrt{9}-2}=\dfrac{3+5}{3-2}=8\)

b) \(Q=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{5\sqrt{x}-2}{4-x}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)+5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{x-3\sqrt{x}+2+5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)

c) \(M=\dfrac{Q}{P}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}:\dfrac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}.\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+5}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}< \dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}< 3\sqrt{x}+15\Leftrightarrow\sqrt{x}>-15\left(đúng\forall x\ge0,x\ne4\right)\)

d) \(M=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}=1-\dfrac{5}{\sqrt{x}+5}\in Z\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+5\inƯ\left(5\right)=\left\{-5;-1;1;5\right\}\)

Do \(x\ge0,x\ne4\)

\(\Rightarrow x\in\left\{0\right\}\)