Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB=a; AD=2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng
45
0
. Gọi M là trung điểm của SD. Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (SAC) ...
Đọc tiếp
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB=a; AD=2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng . Gọi M là trung điểm của SD. Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (SAC)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên: $BC=AD=2a$
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2} =\sqrt{a^2+(2a)^2} =a\sqrt5$
Do tam giác $SAB$ cân tại $S$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:
$S$ thuộc đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại trung điểm $H$ của $AB$
$\Rightarrow SH\perp(ABCD)$
Xét tam giác vuông $SCH$ (vì $SH\perp(ABCD)$):
$\angle(SC,(ABCD))=45^\circ$
$\Rightarrow \tan45^\circ=\dfrac{SH}{HC}=1$
$\Rightarrow SH=HC$
Ta có: $H$ là trung điểm $AB \Rightarrow AH=\dfrac a2$
$HC=\sqrt{AH^2+AD^2} =\sqrt{\left(\dfrac a2\right)^2+(2a)^2} =\dfrac{a\sqrt{17}}2$
$\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt{17}}2$
Gọi $M$ là trung điểm của $SD$ nên: $SM=\dfrac{SD}{2}$
Vì $SD$ có thành phần vuông góc với $(SAC)$ bằng $SH$, nên khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(SAC)$ bằng một nửa khoảng cách từ $D$ đến $(SAC)$.
Mà: $d(D,(SAC))=SH=\dfrac{a\sqrt{17}}2$
=> $d(M,(SAC))=\dfrac12\cdot\dfrac{a\sqrt{17}}2=\dfrac{a\sqrt{17}}4$
Vậy $d=\dfrac{a\sqrt{17}}4$