Câu 1: \(y=mx^3-2m\cdot x^2+\left(m-2\right)\cdot x+1\)

=>y'=\(m\cdot3x^2-2m\cdot2x+\left(m-2\right)=3m\cdot x^2-4m\cdot x+\left(m-2\right)\)

Để hàm số không có cực trị thì phương trình y'=0 vô nghiệm

=>\(3m\cdot x^2-4m\cdot x+\left(m-2\right)\) =0(1) vô nghiệm

TH1: m=0

(1) sẽ trở thành: \(3\cdot0\cdot x^2-4\cdot0\cdot x+0-2=0\)

=>-2=0(vô lý)

TH2: m<>0

\(\Delta=\left(-4m\right)^2-4\cdot3m\cdot\left(m-2\right)=16m^2-12m^2+24m=4m^2+24m\)

Để (1) vô nghiệm thì Δ<0

=>4m(m+6)<0

=>m(m+6)<0

=>-6<m<0

Ta có \(f\left(x\right)>0,\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^2-2\left(m-1\right)x+2m-1>0,\forall x\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\left(x-1\right)>x^2-2x+1,\forall x\in\left(0;1\right)\) (*)

Vì \(x\in\left(0;1\right)\Rightarrow x-1< 0\) nên (*) \(\Leftrightarrow-2m< \dfrac{x^2-2x+1}{x-1}=x-1=g\left(x\right),\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\le g\left(0\right)=-1\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)

\(y'=-x^2-2\left(m-2\right)x+m-2\)

Hàm nghịch biến trên TXĐ khi và chỉ khi \(y'\le0;\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1< 0\left(đúng\right)\\\Delta'=\left(m-2\right)^2+m-2\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(m-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow1\le m\le2\)

Lời giải:

\(y'=\frac{2}{3}x+m\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow m\geq -\frac{2}{3}x, \forall x\in\mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow m\geq \max (\frac{-2}{3}x), \forall x\in\mathbb{R}\)

Vì $\frac{-2}{3}x$ không có max với mọi $x\in\mathbb{R}$ nên không tồn tại $m$

Ta có: \(y=\frac13x^3-mx^2+\left(m+1\right)x-1\)

=>y'=\(\frac13\cdot3x^2-m\cdot2x+\left(m+1\right)=x^2-2m\cdot x+\left(m+1\right)\)

=>y''=2x-2m

Để hàm số đạt cực tại tại x=-2 thì y'(-2)=0 và y''(-2)<0

=>\(\left(-2\right)^2-2m\cdot\left(-2\right)+m+1\) =0 và 2*(-2)-2m<0

=>4+4m+m+1=0 và -4-2m<0

=>5m=-5 và 2m+4>0

=>m=-1 và m>-2

=>m=-1