Đáp án B.

Dựng tam giác đều IAB (I và C cùng phía bờ AB).

Ta có:

Qua I dựng đường thẳng song song với SA, cắt đường trung trực của SA tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gọi M là trung điểm của SA.

Ta có:

Vì $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAB$, $SAC$ vuông tại $A$.

Xét tam giác $ABC$ cân tại $B$, ta có:
$AB = BC = a$, $\widehat{ABC} = 120^\circ$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ$

$AC^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot (-\dfrac{1}{2})$

$AC^2 = 3a^2 \Rightarrow AC = a\sqrt{3}$

Do $SA \perp (ABC)$ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ nằm trên đường trung trực của đoạn $SA$.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp thỏa mãn:

$R^2 = \left(\dfrac{SA}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{AC}{2}\right)^2$

Thay số: $R^2 = \left(\dfrac{2a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$R^2 = a^2 + \dfrac{3a^2}{4} = \dfrac{7a^2}{4}$

$\Rightarrow R = \dfrac{a\sqrt{7}}{2}$

Dựng tam giác đều IAB (I và C cùng phía bờ AB). Ta có ∠ I B C = 120 ° - 60 ° = 60 ° và IB=BC nên DIBC đều, IA=IB=IC=a

Qua I dựng đường thẳng song song với SA, cắt đường trung trực của SA tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gọi M là trung điểm của SA.

Đáp án C.

Hướng dẫn giải: Gọi H là trung điểm AC.

Do tam giác ABC vuông tại B nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Đỉnh S cách đều các điểm A, B,C nên hình chiếu của S trên mặt đáy (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

suy ra S H ⊥ ( A B C )

Tam giác vuông  SBH, có

Tam giác vuông  ABC ,

có  A B = A C 2 - B C 2 = a 3

Diện tích tam giác vuông

S ∆ A B C = 1 2 B A . B C = a 3 2 2

Vậy  V S . A B C = 1 3 S ∆ A B C . S H = a 3 2

Đáp án C

Gọi H là trung điểm AC. Ta có tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC)

suy ra  S H ⊥ A B C

Ta có

  S B , A B C = S B H ^ = 45 o ⇒ S H = B H = 1 2 A C = a 2 2 V S . A B C   = 1 3 . a 2 2 . 1 2 a 2 = a 3 2 12

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB=BC=a$

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot BC=\dfrac12 a\cdot a=\dfrac{a^2}{2}$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

Do tam giác $SAC$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên: $H\in AC$

Xét tam giác vuông $SBH$ tại $H$.

Vì góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:

$\widehat{SBH}=45^\circ$

=> $\tan45^\circ=\dfrac{SH}{BH}$

$\Rightarrow SH=BH$

Trong tam giác vuông cân $ABC$ tại $B$ ta có: $AC=a\sqrt{2}$

Vì $H\in AC$ và tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $H$ là trung điểm của $AC$.

Do đó: $BH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$

=> $SH=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Thể tích khối chóp

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt{2}} =\dfrac{a^3}{6\sqrt{2}} =\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Đáp án C

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB=BC=a$

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot BC=\dfrac12 a\cdot a=\dfrac{a^2}{2}$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

Vì mặt phẳng $(SAC)\perp(ABC)$ nên $H\in AC$.

Do tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $H$ là trung điểm của $AC$.

Trong tam giác vuông cân $ABC$ tại $B$: $AC=a\sqrt2$

=> $BH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt2}{2}=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Xét tam giác vuông $SBH$ tại $H$.

Góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:

$\tan45^\circ=\dfrac{SH}{BH}$

$\Rightarrow SH=BH=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Thể tích khối chóp

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2} =\dfrac{a^3}{6\sqrt2} =\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$

Đáp án là A

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = a \Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}a^2$.

Do $SA \perp (ABC)$ và $SA = a$ nên $SA$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$

$= \dfrac13 \cdot \dfrac{1}{2}a^2 \cdot a$

$= \dfrac{a^3}{6}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3}{6}$.

Chọn đáp án A.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = a \Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}a^2$.

Do $SA \perp (ABC)$ và $SA = a$ nên $SA$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$

$= \dfrac13 \cdot \dfrac{1}{2}a^2 \cdot a$

$= \dfrac{a^3}{6}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3}{6}$.

Chọn đáp án A.

Đáp án là A

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$
$\Rightarrow AB \perp BC,; AB = BC = a$

Diện tích đáy:

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC$
$= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a = \dfrac{a^2}{2}$

$SA \perp (ABC)$ và $SA = a$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABC} \cdot SA$

$= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot a$

$= \dfrac{a^3}{6}$

Vậy $V = \dfrac{a^3}{6}$