Bài 1:

a: \(f^{\prime}\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(1-x^2\right)\left(2x-1\right)^3\)

\(=\left(1-x\right)\left(x+1\right)^2\cdot\left(2x-1\right)^3\)

Đặt f'(x)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}1-x=0\\ x+1=0\\ 2x-1=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\\ x=\frac12\end{array}\right.\)

Bảng xét dấu:

=>Hàm số đồng biến trên khoảng (1/2;1); nghịch biến trên các khoảng (-∞;-1);(-1;1/2);(1;+∞)

b; Đặt f'(x)=0

=>\(\left(x+2\right)\left(x-3\right)^2\cdot\left(x-4\right)^3=0\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x+2=0\\ x-3=0\\ x-4=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=3\\ x=4\end{array}\right.\)

Bảng xét dấu:

=>Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-2);(4;+∞)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-2;3); (3;4)

TXĐ: D = R \ {-2}

Ta có: \(y'=\dfrac{\left(-2x+2\right)\left(x+2\right)-\left(-x^2+2x-1\right)}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{-x^2-4x+5}{\left(x+2\right)^2}\)

\(y'=0\Rightarrow-x^2-4x+5=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-5\\x=1\end{matrix}\right.\)

⇒ Hàm số y đồng biến trên (-5, -2) và (-2, 1)

Hàm số y nghịch biến trên (-∞, -5) và (1, +∞)

\(f\left(x\right)=x+\sqrt[]{x^2-4}\)

\(f\left(x\right)\) xác định khi và chỉ khi

\(x^2-4\ge0\Leftrightarrow x^2\ge4\Leftrightarrow x\le-2\cup x\ge2\)

Tập xác định : \(D=(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)\)

\(f'\left(x\right)=1+\dfrac{x}{\sqrt[]{x^2-4}}\)

\(f'\left(x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow1+\dfrac{x}{\sqrt[]{x^2-4}}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt[]{x^2-4}+x}{\sqrt[]{x^2-4}}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[]{x^2-4}+x=0\left(x< -2;x>2\right)\)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki:

\(\left(1.\sqrt[]{x^2-4}+1.x\right)^2\le2\left(2x^2+4\right)=4\left(x^2+2\right)\)

\(pt\Leftrightarrow4\left(x^2+2\right)=0\left(vô.lý\right)\)

\(\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm

Tiếp tục bài giải, mình nhấn nút gửi

\(...\Rightarrow f'\left(x\right)>0,\forall x\in D\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn luôn tăng trên tập xác định D.

TXĐ: D=(\(-\infty;2\)]

\(y'=1+2.\dfrac{-1}{2\sqrt{2-x}}\)\(=1-\dfrac{1}{\sqrt{2-x}}\)

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;1\right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left(1;2\right)\)

ĐKXĐ: \(2x-x^3\ge0\)

=>\(x^3-2x\le0\)

=>\(x\left(x^2-2\right)\le0\)

TH1: \(\begin{cases}x\ge0\\ x^2-2\le0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\ge0\\ x^2\le2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\ge0\\ -\sqrt2\le x\le\sqrt2\end{cases}\Rightarrow0\le x\le\sqrt2\)

TH2: \(\begin{cases}x\le0\\ x^2-2\ge0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\le0\\ x^2\ge2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\le0\\ \left[\begin{array}{l}x\ge\sqrt2\\ x\le-\sqrt2\end{array}\right.\Rightarrow x\le-\sqrt2\end{cases}\)

\(y=\sqrt{2x-x^3}\)

=>\(y^{\prime}=\frac{\left(2x-x^3\right)^{\prime}}{2\cdot\sqrt{2x-x^3}}=\frac{2-3x^2}{2\cdot\sqrt{2x-x^3}}\)

Đặt y'>0

=>\(2-3x^2>0\)

=>\(-3x^2>-2\)

=>\(3x^2<2\)

=>\(x^2<\frac23\)

=>\(-\frac{\sqrt6}{3}

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(0

=>Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(0;\frac{\sqrt6}{3}\right)\)

Đặt y'<0

=>\(2-3x^2<0\)

=>\(-3x^2<-2\)

=>\(3x^2>2\)

=>\(x^2>\frac23=\frac69\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x>\frac{\sqrt6}{3}\\ x<-\frac{\sqrt6}{3}\end{array}\right.\)

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(\left[\begin{array}{l}\frac{\sqrt6}{3}

=>Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(\frac{\sqrt6}{3};\sqrt2\right);\left(-\infty;-\sqrt2\right)\)

a: Hàm số đồng biến trên R

b: Hàm số nghịch biến trên R

ĐKXĐ: x<>0

=>TXĐ là D=(-∞;0)\(\cup\) (0;+∞)

Lấy x1,x2 thuộc cùng một trong hai khoảng (-∞;0) hoặc (0;+∞) sao cho x1<x2

\(f(x_2)-f(x_1)=\frac{m + 1}{x_2}-\frac{m + 1}{x_1}\)

\(=(m+1)\left(\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}\right)=(m+1)\frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}\)

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì \(f(x_2) - f(x_1) > 0\)

=>m+1<0

=>m<-1

cả nhà giúp mình với mai minh kiểm tra chất lượng rồi. Thanks all.

a: Vì \(y=\frac12x+5\) là hàm số bậc nhất có a=1/2>0

nên hàm số này đồng biến trên R

b: Vì y=3x-1 là hàm số bậc nhất có a=3>0

nên hàm số này đồng biến trên R

c: TH1: x>=1/2

=>2x-1>=0

=>y=2x-1

Vì y=2x-1 là hàm số bậc nhất có a=2>0

nên hàm số này đồng biến khi x>=1/2

TH2: x<1/2

=>2x-1<0

=>y=1-2x

Vì y=-2x+1 là hàm số bậc nhất có a=-2<0

nên hàm số này nghịch biến khi x<1/2

e: y=|1-x|+|2x+4|

=|x-1|+|2x+4|

=|2x+4|+|x-1|

TH1: x<-2

=>2x+4<0; x-1<0

=>y=-2x-4+1-x=-3x-3

Vì hàm số y=-3x-3 là hàm số bậc nhất có a=-3<0

nên hàm số f(x) nghịch biến khi x<-2

TH2: -2<=x<1

=>2x+4>=0; x-1<0

=>f(x)=2x+4+1-x=x+5

Vì f(x)=x+5 là hàm số bậc nhất có a=1>0

nên hàm số f(x) đồng biến khi -2<=x<1

TH3: x>=1

=>2x+4>0; x-1>=0

=>f(x)=2x+4+x-1=3x+3

Vì hàm số f(x)=3x+3 là hàm số bậc nhất có a=3>0

nên hàm số f(x) đồng biến khi x>=1