a: Số đoạn thẳng mà có hai đầu mút là 2 trong 2n đỉnh là:

\(C_{2n}^2=\frac{\left(2n\right)!}{\left(2n-2\right)!\cdot2!}=\frac{2n\left(2n-1\right)}{2}=n\left(2n-1\right)\) (đoạn)

b: Số vecto khác vecto 0 mà điểm đầu và điểm cuối là hai trong 2n đỉnh là:

\(A_{2n}^2=2n\left(2n-1\right)\) (vecto)

c: Số đường chéo của đa giác là: \(\frac{2n\left(2n-3\right)}{2}=n\left(2n-3\right)\) (đường)

d: Số tam giác có ba đỉnh là ba trong 2n đỉnh là:

\(C_{2n}^3=\frac{\left(2n\right)!}{\left(2n-3\right)!\cdot3!}=\frac{2n\left(2n-1\right)\left(2n-2\right)}{6}=\frac{n\left(2n-1\right)\left(2n-2\right)}{3}\)

Đề bài bị thừa hai điểm M,N nhé bạn.

Gọi X,Y tương ứng là tiếp điểm của hai đường tròn \(\left(O_1\right),\left(O_2\right)\)  với \(BC\). Ta có \(\Delta O_1XH\sim\Delta O_2YH\) (cùng là tam giác vuông cân). Suy ra \(\frac{O_1H}{O_2H}=\frac{r_1}{r_2}\) với \(r_1,r_2\) tương ứng là bán kính đường tròn nội tiếp hai tam giác \(\Delta AHB,\Delta CHA.\) Mà \(\Delta AHB\sim\Delta CHA\)  nên \(\frac{r_1}{r_2}=\frac{AB}{CA}\to\frac{O_1H}{O_2H}=\frac{AB}{CA}\to\Delta O_1HO_2\sim\Delta BAC\)  (c.g.c). Suy ra \(\angle ABC+\angle HO_2O_1=90^{\circ}.\)

Đến đây ta có \(\angle CO_2O_1+\angle O_1BC=\angle HO_2C+\angle HO_2O_1+\angle O_1BC\)

\(=180^{\circ}-\frac{\angle AHC+\angle ACH}{2}+\angle HO_2O_1+\angle O_1BC=180^{\circ}-\frac{180^{\circ}-\angle HAC}{2}+\angle HO_2O_1+\angle O_1BC\)

\(=90^{\circ}+\angle HO_2O_1+\angle ABC=180^{\circ}.\)

Vậy tứ giác \(BCO_1O_2\) nội tiếp.

Mọi người ơi,đây là olm beta à.

đúng rồi bn ơi

1) Ta có

  B I C ^ = 180 0 − I B C ^ − I C B ^ = 180 0 − A B C ^ 2 − A C B ^ 2 = 180 0 − 180 ∘ − B A C ^ 2 = 90 0 + B A C ^ 2 ⇔ B A C ^ = 2 B I C ^ − 180 °

Tương tự B Q C ^ = 90 0 + B P C ^ 2 ⇔ B P C ^ = 2 B Q C ^ − 180 ° .

Tứ giác BPAC nội tiếp, suy ra B A C ^ = B P C ^ ⇒ B Q C ^ = B I C ^ , nên 4 điểm B, I, Q, C thuộc một đường tròn.

2) Gọi đường tròn (B; BI) giao (C; CI) tại K khác I thì K cố định.

Góc I B M ^  là góc ở tâm chắn cung I M ⏜  và I K M ^  là góc nội tiếp chắn cung  I M ⏜ , suy ra I K M ^ = 1 2 I B M ^  (1).

Tương tự I K N ^ = 1 2 I C N ^  (2).

Theo câu 1) B, I, Q, C thuộc một đường tròn, suy ra  I B M ^ = I B Q ^ = I C Q ^ = I C N ^  (3).

Từ (1), (2) và (3), suy ra I K M ^ = I K N ^ ⇒ K M ≡ K N .

Vậy MN đi qua K cố định.

Số tam giác là \(C_{2n}^3\). Một đa giác đều 2n đỉnh thì có n đường chéo xuyên tâm. Cứ 2 đường chéo xuyên tâm thì có một hình chữ nhật theo yêu cầu. Vậy số hình chữ nhật là \(C_n^2\).

Theo bài ta có phương trình :

\(C_{2n}^3=20C_n^2,\left(n\ge2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(2n\right)!}{\left(2n-3\right)!3!}=20\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(2n-2\right)\left(2n-1\right)2n}{3}=20\left(n-1\right)n\)

\(\Leftrightarrow2\left(n-1\right)\left(2n-1\right)2n=60\left(n-1\right)n\)

\(\Leftrightarrow2n-1=15\), (do \(n\ge2\))

\(\Leftrightarrow n=18\)

Vậy đa giác đều có 16 cạnh, (thập lục giác đều)