Đạo hàm y 0 = −3x 2 + 6x + m − 1. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 3) khi và chỉ khi y 0 > 0, ∀x ∈ (0; 3). Hay −3x 2 + 6x + m − 1 > 0, ∀x ∈ (0; 3) ⇔ m > 3x 2 − 6x + 1, ∀x ∈ (0; 3) (∗). Xét hàm số f(x) = 3x 2 − 6x + 1 trên đoạn [0; 3] có f 0 (x) = 6x − 6; f 0 (x) = 0 ⇔ x = 1. Khi đó f(0) = 1, f(3) = 10, f(1) = −2, suy ra max [0;3] f(x) = f(3) = 10. Do đó (∗) ⇔ m > max [0;3] f(x) ⇔ m > 10. Vậy với m > 10 thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 3). 

Cho hàm số y=f(x) thoả mãn f(-2)=3, f(2)=2 và bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Bất phương trình $3^{f\left(x\right)+m}\le 4f\left(x\right)+1+4m$ nghiệm đúng với mọi số thực $x\in \left(-2;2\right)$ khi và chỉ khi

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\mathrm{D}=\frac{{\mathrm{x}}^3+\left|\mathrm{x}\right|}{\left({\mathrm{x}}^2+1\right)\left|\mathrm{x}\right|}\mathrm{khi}\mathrm{x}<0;$ 

b) $\mathrm{E}=\left|2{\mathrm{x}}^2+1\right|-\left|-3\mathrm{x}\right|+5\mathrm{khi}\mathrm{x}\ge 0;$ 

c)  $\mathrm{F}={\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+\left|3\mathrm{x}+1\right|-2.$

Cho hàm số  $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2-5} khi x\ge 3 \left(1\right)\\ \frac{x^2-5}{x+2} khi x<3 \left(2\right)\end{array}\right.$

Trong biểu thức (2) ở trên, cần thay số 5 bằng số nào để hàm số f(x) có giới hạn khi x → 3?