Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Với $n$ lẻ bất kỳ:
$u_n<0; u_{n+1>0; u_{n+2}< 0$
$\Rightarrow u_n< u_{n+1}> u_{n+2}$ với mọi $n$ lẻ bất kỳ
Do đó dãy không tăng cũng không giảm.
a: \(u_1=\frac{\left(-1\right)^1}{1+2}=-\frac13;u_2=\frac{\left(-1\right)^2}{2+2}=\frac14;u_3=\frac{\left(-1\right)^3}{3+2}=-\frac15\)
Vì \(u_1u_3\)
nên đây là dãy không tăng, không giảm
b: \(u_{n}=\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\)
\(=\frac{n+3-n}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}=\frac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}\)
\(u_{n+1}=\frac{3}{\sqrt{n+1+3}+\sqrt{n+1}}=\frac{3}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n+1}}\)
Vì \(\sqrt{n+4}+\sqrt{n+1}>\sqrt{n+3}+\sqrt{n}\)
nên \(\frac{3}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n+1}}<\frac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}\)
=>\(u_{n+1}
=>Đây là dãy số giảm
a: \(u_1=\frac{\left(-1\right)^1}{1+2}=-\frac13;u_2=\frac{\left(-1\right)^2}{2+2}=\frac14;u_3=\frac{\left(-1\right)^3}{3+2}=-\frac15\)
Vì \(u_1u_3\)
nên đây là dãy không tăng, không giảm
b: \(u_{n}=\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\)
\(=\frac{n+3-n}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}=\frac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}\)
\(u_{n+1}=\frac{3}{\sqrt{n+1+3}+\sqrt{n+1}}=\frac{3}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n+1}}\)
Vì \(\sqrt{n+4}+\sqrt{n+1}>\sqrt{n+3}+\sqrt{n}\)
nên \(\frac{3}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n+1}}<\frac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}\)
=>\(u_{n+1}
=>Đây là dãy số giảm
b: \(u_{n}=\frac{4^{n}-1}{4^{n}+5}\)
\(=\frac{4^{n}+5-6}{4^{n}+5}=1-\frac{6}{4^{n}+5}\)
TA có; n<n+1
=>\(4^{n}<4^{n+1}\)
=>\(4^{n}+5<4^{n+1}+5\)
=>\(\frac{6}{4^{n}+5}>\frac{6}{4^{n+1}+5}\)
=>\(-\frac{6}{4^{n}+5}<-\frac{6}{4^{n+1}+5}\)
=>\(-\frac{6}{4^{n}+5}+1<-\frac{6}{4^{n+1}+5}+1\)
=>\(u_{n}
=>Đây là dãy số tăng
b: \(u_{n}=\frac{4^{n}-1}{4^{n}+5}\)
\(=\frac{4^{n}+5-6}{4^{n}+5}=1-\frac{6}{4^{n}+5}\)
TA có; n<n+1
=>\(4^{n}<4^{n+1}\)
=>\(4^{n}+5<4^{n+1}+5\)
=>\(\frac{6}{4^{n}+5}>\frac{6}{4^{n+1}+5}\)
=>\(-\frac{6}{4^{n}+5}<-\frac{6}{4^{n+1}+5}\)
=>\(-\frac{6}{4^{n}+5}+1<-\frac{6}{4^{n+1}+5}+1\)
=>\(u_{n}
=>Đây là dãy số tăng
a) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}\)
Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}} - \frac{{{n^2}}}{{n + 1}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^3} - {n^2}\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{{n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 - {n^3} - 2{n^2}}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0\) với mọi n ∈ ℕ*.
Vì vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
b) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{2}{{{5^{n + 1}}}}\)
Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{2}{{{5^{n + 1}}}} - \frac{2}{{{5^n}}} = - \frac{4}{5}.\frac{2}{{{5^n}}} = - \frac{8}{{{5^{n + 1}}}} < 0\)
Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
+ Xét tính tăng giảm.
Với mọi n ∈ N ta có:
⇒ un + 1 < un với mọi n ∈ N.
⇒ (un) là dãy số giảm.
+ Xét tính bị chặn.
un > 0 với mọi n.
⇒ (un) bị chặn dưới.
un ≤ u1 = √2 - 1 với mọi n
⇒ (un) bị chặn trên.
⇒ (un) bị chặn.
\(u_n=\dfrac{n+2}{n}\)
\(u_{n+1}=\dfrac{n+3}{n+1}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\dfrac{n+3}{n+1}-\dfrac{n+2}{n}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\dfrac{n\left(n+3\right)-\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\dfrac{n^2+3n-\left(n^2+3n+2\right)}{n\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\dfrac{n^2+3n-n^2-3n-2}{n\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\dfrac{-2}{n\left(n+1\right)}< 0\)
Vậy dãy số \(u_n\) đã cho là dãy giảm
a: \(u_{n+1}-u_n\)
\(=2-3\left(n+1\right)-2+3n\)
=-3n-3+3n
=-3<0
=>Đây là dãy giảm
b: \(u_{n+1}-u_n\)
\(=\dfrac{n+2}{n+1}-\dfrac{n+1}{n}\)
\(=\dfrac{n^2+2n-n^2-2n-1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}< 0\)
=>Đây là dãy giảm
c: \(u_{n+1}-u_n==\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}\)
\(=\dfrac{n+1-n-2}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\dfrac{-1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< 0\)
=>Đây là dãy giảm
d: \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2^{n+1}}{2^n}=2>1\)
=>Đây là dãy tăng
với n ∈ N*, n ≥ 1
Xét:
⇒ un + 1 – un < 0 ⇒ un + 1 < un
Vậy (un) là dãy số giảm