a: ĐKXĐ: \(1-x^2\ge0\)

=>\(x^2\le1\)

=>-1<=x<=1

\(y=x\cdot\sqrt{1-x^2}\)

=>y'=\(x^{\prime}\cdot\sqrt{1-x^2}+x\left(\sqrt{1-x^2}\right)^{\prime}\)

=>y'=\(\sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}\)

Đặt y'>0

=>\(1-2x^2>0\)

=>\(2x^2<1\)

=>\(x^2<\frac12\)

=>\(-\frac{\sqrt2}{2}

=>Hàm số đồng biến trên \(\left(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)\)

Đặt y'<0

=>\(1-2x^2<0\)

=>\(2x^2>1\)

=>\(x^2>\frac12\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x>\frac{\sqrt2}{2}\\ x<-\frac{\sqrt2}{2}\end{array}\right.\)

=>Hàm số nghịch biến trên các khoảng (\(\frac{\sqrt2}{2}\) ;+∞) và (-∞;\(-\frac{\sqrt2}{2}\) )

b: ĐKXĐ: \(3x^2-x^3\ge0\)

=>\(x^3-3x^2\le0\)

=>\(x^2\left(x-3\right)\le0\)

=>x=0 hoặc x-3<=0

=>x=0 hoặc x<=3

=>x∈(-∞;3]

\(y=\sqrt{3x^2-x^3}\)

=>y'=\(\frac{\left(3x^2-x^3\right)^{\prime}}{2\cdot\sqrt{3x^2-x^3}}=\frac{3\cdot2x-3x^2}{2\cdot\sqrt{3x^2-x^3}}=\frac{6x-3x^2}{2\cdot\sqrt{3x^2-x^3}}\)

Đặt y'>0

=>\(6x-3x^2>0\)

=>\(3x^2-6x<0\)

=>3x(x-2)<0

=>x(x-2)<0

=>0<x<2

=>Hàm số đồng biến trên (0;2)

Đặt y'<0

=>\(6x-3x^2<0\)

=>\(3x^2-6x>0\)

=>3x(x-2)>0

=>x(x-2)>0

=>x>2 hoặc x<0

=>Hàm số nghịch biến trên (2;+∞) và (-∞;0)

a) Vì \(3-2\sqrt{2}>0\) nên hàm số đồng biến

b) Thay \(x=3+2\sqrt{2}\) vào hàm số, ta được:

\(y=\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(3+2\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}-1\)

\(=9-8+\sqrt{2}-1\)

\(=\sqrt{2}\)

a) `a=3-2\sqrt2>0 =>` Hàm số đồng biến.

b) `y=(3-2\sqrt2)(3+2\sqrt2)+\sqrt2-1=3^2-(2\sqrt2)^2+\sqrt2-1=\sqrt2`

`=> y=\sqrt2` khi `x=3+2\sqrt2`

y = x – sinx, x  ∈  [0; 2 π ].

y′ = 1 – cosx ≥ 0 với mọi x ∈ [0; 2 π ]

Dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 và x = 2 π .

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2 π ].

kiểu bài này có đáp án trên mạng rồi ấy ạ, anh/chị/ bạn nào mà xem qua đáp án trên mạng có thể giải thích kĩ hơn giúp em chỗ cos 1/x >0 về đoạn sau được không ạ, chứ ai đọc mãi mà không hiểu được 😭😭

Bất phương trình lượng giác:

\(cos\left(X\right)\ge a\Leftrightarrow-arccos\left(a\right)+k2\pi\le X\le arccos\left(a\right)+k2\pi\)

Vậy BPT: \(cos\left(\dfrac{1}{x}\right)>0\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\le\dfrac{1}{x}\le\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\) với \(k\ge1\)

Nghịch đảo: \(\dfrac{2}{k4\pi-\pi}\le x\le\dfrac{2}{k4\pi+\pi}\)

b:

ĐKXĐ: x<>0

\(y=\frac{x^4+48}{x}\)

=>\(y=x^3+\frac{48}{x}\)

=>y'=\(3x^2+\frac{-48}{x^2}=3x^2-\frac{48}{x^2}\)

Đặt y'>0

=>\(3x^2-\frac{48}{x^2}>0\)

=>\(3x^4-48>0\)

=>\(x^4>16\)

=>x>2 hoặc x<-2

=>Hàm số đồng biến trên các khoảng (2;+∞); (-∞;-2)

Đặt y'<0

=>\(3x^2-\frac{48}{x^2}<0\)

=>\(\frac{3x^4-48}{x^2}<0\)

=>\(3x^4-48<0\)

=>\(x^4-16<0\)

=>\(\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)<0\)

=>\(x^2-4<0\)

=>\(x^2<4\)

=>-2<x<2

=>Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-2;0); (0;2)

c:

ĐKXĐ: x∉{2;-2}

\(y=\frac{2x}{x^2-4}\)

=>\(y^{\prime}=\frac{\left(2x\right)^{\prime}\left(x^2-4\right)-2x\left(x^2-4\right)^{\prime}}{\left(x^2-4\right)^2}=\frac{2\left(x^2-4\right)-2x\cdot2x}{\left(x^2-4\right)^2}\)

\(=\frac{-2x^2-8}{\left(x^2-4\right)^2}<0\)

=>Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;-2); (-2;2); (2;+∞)

Xét hàm số y = sin(1/x) với x > 0.

Giải bất phương trình sau trên khoảng (0; + ∞ ):

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng

Và nghịch biến trên các khoảng

với k = 0, 1, 2 …

a: Lấy x1,x2 thuộc khoảng (1;+∞) sao cho 1<x1<x2

=>x1-1>0; x2-1>0

=>x1-1+x2-1>0

=>x1+x2-2>0

\(\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}\)

\(=\frac{x_1^2-2x_1+3-x_2^2+2x_2-3}{x_1-x_2}\)

\(=\frac{\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)-2\left(x_1-x_2\right)}{x_1-x_2}=x_1+x_2-2>0\)

=>Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞)

b: Lấy x1,x2 thuộc khoảng (-∞;3) sao cho x2<x1<3

=>x2-3<0; x1-3<0

=>x2+x1-6<0

\(\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{\sqrt{3-x_1}-\sqrt{3-x_2}}{x_1-x_2}\)

\(=\frac{3-x_1-3+x_2}{\left(x_1-x_2\right)\left(\sqrt{3-x_1}+\sqrt{3-x_2}\right)}=\frac{-\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1-x_2\right)\left(\sqrt{3-x_1}+\sqrt{3-x_2}\right)}\)

\(=\frac{-1}{\sqrt{3-x_1}+\sqrt{3-x_2}}<0\)

=>Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;3)