A B C D

a) Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta ADC\) ta có:

\(\widehat{BAD}+\widehat{B}+\widehat{BDA}=180^o\)

\(\widehat{DAC}+\widehat{C}+\widehat{CDA}=180^o\)

Mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\left(gt\right)\)(*)

\(\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\) (AD là phân giác)

\(\Rightarrow\widehat{BDA}=\widehat{CDA}\) (**)

AD là cạnh chung. (***)

Vậy: từ (*) (**) (***) ta có \(\Delta ADB\) = \(\Delta ADC\) (g.c.g)

b) Vì: \(\Delta ADB\) = \(\Delta ADC\) (cm a)

\(\Rightarrow AB=AC\) (2 cạnh tương ứng)

c) Vì: \(\Delta ADB\) = \(\Delta ADC\) (cm a)

\(\Rightarrow DB=DC\) (2 cạnh tương ưng)

Mà D thuộc BC (gt)

=> D là trung điểm của BC. (****)

Lại có: AD là tia phân giác góc A (*****)

Từ (****) và (*****) suy ra AD là đường trung trực của BC

a: Xét ΔABI và ΔACI có

AB=AC
góc BAI=góc CAI

AI chung

=>ΔABI=ΔACI

b: ΔABI=ΔACI

=>góc AIB=góc AIC

c: Xét tứ giác ABEC có

I là trung điểm chung của AE và BC

=>ABEC là hình bình hành

=>BE//AC

đề bài câu d bị sai thì phải

câu d đề sai hoàn toàn

ΔADB = ΔADC ( câu a )

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)

a: Xét ΔABE và ΔADC có

góc ABE=góc ADC

góc BAE=góc DAC

=>ΔABE đồng dạng với ΔADC

b: Xét ΔDAC và ΔDBE có

góc DAC=góc DBE

góc ADC=góc BDE
=>ΔDAC đồng dạng với ΔDBE

=>DA/DB=DC/DE

=>DA*DE=DB*DC

phần b) là : 4DM<BC nha các anh chị

a) vì AD là tia phân giác của góc BAC

=> góc DAB = góc DAC= góc BAC/2

mà ta có góc ADB=góc DAC+ góc C

thay góc DAC= góc DAB vào ta có:

góc ADB= góc DAB+ góc C

vì góc C>0

=> góc ADB> góc DAB

=> AB>BD9đpcm)

b) ta có góc A+ góc C= 180 độ- góc B

vì góc B>60 độ

=> góc A+ góc C> 120 độ

mà góc ADB= góc DAC + góc C= góc A/2+ góc C

góc ADB= ( góc A+ 2 x góc C)/2=( góc A+ góc C)/2 + góc C/2

do góc A+ góc C>120 độ và góc C>0 độ

=> góc ADB> 120 độ+0 độ= 60 độ

vì góc ADB>60 độ mà góc B < 60 độ

=> góc ADB> góc B

=> AB>AD

vì AD là tia phân giác của góc BAC

=> \(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow BD=CD\cdot\frac{AB}{AC}\)

vì AM là tia phân giác của góc DAC

=> \(\frac{DM}{MC}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow MC=DM\cdot\frac{AC}{AD}\)

ta có CD= \(DM+MC=DM+DM\cdot\frac{AC}{AD}=DM\left(1+\frac{AC}{AD}\right)\)

thay vào BD=\(CD\cdot\frac{AB}{AC}\) ta có:

\(BD=DM\left(1+\frac{AC}{AD}\right)\cdot\frac{AB}{AC}=DM\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AB}{AD}\right)\)

mà BC=\(BD+CD=DM\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AB}{AD}\right)+DM\left(1+\frac{AC}{AD}_{}\right)\)

\(BC=DM\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AB}{AD}+\frac{AC}{AD}+1\right)\)

áp dụng bđt cauchy cho hai số hạng đầu và số hạng cuối trong ngoặc

ta có \(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}\ge2\sqrt{\frac{AB}{AC}\cdot\frac{AC}{AD}}=2\sqrt{\frac{AB}{AD}}\)

=> \(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}+\frac{AB}{AD}\ge\frac{AB}{AD}+2\sqrt{\frac{AB}{AD}}\)

vì AB>AD=> \(\frac{AB}{AD}>1;\sqrt{\frac{AB}{AD}}>1\)

=> \(\frac{AB}{AD}+2\sqrt{\frac{AB}{AD}}>1+2=3\)

=> \(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}+\frac{AB}{AD}>3\)

=> \(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}+\frac{AB}{AD}+1>4\)

=> \(DM\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}+\frac{AB}{AD}+1\right)>4DM\)

=> \(BC>4DM\left(đpcm\right)\)

Tham khảo:
 

a) xét Δ vuông ADB và Δ vuông EDB có:

BD chung, ∠ABD = ∠EBD (gt) => ΔADB = ΔEDB (ch - gn)

b) ΔADB = ΔEDB => AD = ED

xét ΔADK và ΔEDC có:

AD = ED (cmt), ∠ADK = ∠EDC (đối đỉnh), ∠DAK = ∠DEC (= 90°) => ΔADK = ΔEDC (g - c - g)

=> AK = EC
 

c) ΔADK = ΔEDC => DK = DC => ΔDKC cân tại D

D là giao điểm của KE và CA là 2 đg cao của ΔBKC => BF cũng là đường cao của ΔBKC

=> BF ⊥ KC <=> DF ⊥ KC

mà ΔDKC cân tại D => DF cũng là đg trung tuyến

DG = 2GF => G là giao điểm của 3 đg trung tuyến của ΔDKC

=> KG đi qua trung điểm của CD => K, G, M thẳng hàng (do M là trung điểm của CD

Gọi IK là phân giác của góc BIC(K∈BC)

Xét ΔABC có \(\hat{BAC}+\hat{ABC}+\hat{ACB}=180^0\)

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=180^0-60^0=120^0\)

=>\(2\left(\hat{IBC}+\hat{ICB}\right)=120^0\)

=>\(\hat{IBC}+\hat{ICB}=60^0\)

Xét ΔBIC có \(\hat{BIC}+\hat{IBC}+\hat{ICB}=180^0\)

=>\(\hat{BIC}=180^0-60^0=120^0\)

IK là phân giác của góc BIC

=>\(\hat{BIK}=\hat{CIK}=\frac12\cdot\hat{BIC}=60^0\)

Ta có: \(\hat{BIC}+\hat{BIE}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(\hat{BIE}=180^0-120^0=60^0\)

Ta có: \(\hat{BIC}+\hat{DIC}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(\hat{DIC}=180^0-120^0=60^0\)

Xét ΔBEI và ΔBKI có

\(\hat{EBI}=\hat{KBI}\)

BI chung

\(\hat{EIB}=\hat{KIB}\)

Do đó; ΔBEI=ΔBKI

=>BE=BK

Xét ΔCKI và ΔCDI có

\(\hat{KCI}=\hat{DCI}\)

CI chung

\(\hat{KIC}=\hat{DIC}\)

Do đó: ΔCKI=ΔCDI

=>CK=CD

CK+BK=BC

=>BC=BE+CD

Không vẽ hình cũng đc ạ