a; TA có: ABCD là hình vuông

=>AC⊥BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD

Ta có; ABCD là hình vuông

=>AC=BD

mà \(OA=OC=\frac{AC}{2};OB=OD=\frac{BD}{2}\)

nên OA=OC=OB=OD

ABCD là hình vuông

=>BD là phân giác của góc ABC

=>\(\hat{ABD}=\hat{CBD}=\frac12\cdot90^0=45^0\)

BCDA là hình vuông

=>CA là phân giác của góc BCD

=>\(\hat{BCA}=\hat{DCA}=45^0\)

TA có: \(\hat{IOB}+\hat{BOM}=\hat{IOM}=90^0\)

\(\hat{BOM}+\hat{MOC}=\hat{BOC}=90^0\)

Do đó: \(\hat{IOB}=\hat{MOC}\)

Xét ΔBIO và ΔCMO có

\(\hat{IBO}=\hat{MCO}\)

OB=OC

\(\hat{IOB}=\hat{MOC}\)

Do đo: ΔBIO=ΔCMO

a) Xét tứ giác BIEM có 

\(\widehat{IBM}\) và \(\widehat{IEM}\) là hai góc đối

\(\widehat{IBM}+\widehat{IEM}=180^0\)(\(90^0+90^0=180^0\))

Do đó: BIEM là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

⇔B,I,E,M cùng thuộc 1 đường tròn(đpcm)

b) Ta có: ABCD là hình vuông(gt)

nên BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)(Định lí hình vuông)

⇔BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)

⇔\(\widehat{ABD}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=\dfrac{90^0}{2}=45^0\)

hay \(\widehat{IBE}=45^0\)

Ta có: BIEM là tứ giác nội tiếp(cmt)

nên \(\widehat{IBE}=\widehat{IME}\)(Định lí)

mà \(\widehat{IBE}=45^0\)(cmt)

nên \(\widehat{IME}=45^0\)

Vậy: \(\widehat{IME}=45^0\)

Trên tia đối của tia DC, lấy K sao cho DK=BF

Xét ΔABF vuông tại B và ΔADK vuông tại D có

AB=AD

BF=DK

Do đó: ΔABF=ΔADK

=>AF=AK

ΔABF=ΔADK

=>\(\hat{BAF}=\hat{DAK}\)

mà \(\hat{BAF}+\hat{DAF}=\hat{BAD}=90^0\)

nên \(\hat{DAK}+\hat{DAF}=90^0\)

=>\(\hat{FAK}=90^0\)

=>ΔAFK vuông cân tại A

Ta có: \(\hat{BAF}+\hat{DAE}+\hat{FAE}=\hat{BAD}\)

=>\(\hat{BAF}+\hat{DAE}=90^0-45^0=45^0\)

=>\(\hat{DAK}+\hat{DAE}=45^0\)

=>\(\hat{KAE}=45^0\)

Xét ΔEAK và ΔEAF có

EA chung

\(\hat{EAK}=\hat{EAF}\)

AK=AF

Do đó: ΔEAK=ΔEAF
=>EK=EF

Chu vi tam giác CEF là:

CE+CF+EF

=CE+CF+EK

=CE+CF+ED+FB

=CD+CF+FB

=CD+CB

=\(\frac{C_{ABCD}}{2}\)

Trên tia đối của tia DC, lấy K sao cho DK=BF

Xét ΔABF vuông tại B và ΔADK vuông tại D có

AB=AD

BF=DK

Do đó: ΔABF=ΔADK

=>AF=AK

ΔABF=ΔADK

=>\(\hat{BAF}=\hat{DAK}\)

mà \(\hat{BAF}+\hat{DAF}=\hat{BAD}=90^0\)

nên \(\hat{DAK}+\hat{DAF}=90^0\)

=>\(\hat{FAK}=90^0\)

=>ΔAFK vuông cân tại A

Ta có: \(\hat{BAF}+\hat{DAE}+\hat{FAE}=\hat{BAD}\)

=>\(\hat{BAF}+\hat{DAE}=90^0-45^0=45^0\)

=>\(\hat{DAK}+\hat{DAE}=45^0\)

=>\(\hat{KAE}=45^0\)

Xét ΔEAK và ΔEAF có

EA chung

\(\hat{EAK}=\hat{EAF}\)

AK=AF

Do đó: ΔEAK=ΔEAF
=>EK=EF

Chu vi tam giác CEF là:

CE+CF+EF

=CE+CF+EK

=CE+CF+ED+FB

=CD+CF+FB

=CD+CB

=\(\frac{C_{ABCD}}{2}\)

Tham khảo:

@ Trần Ngọc Huyền @  Em lần sau nhớ chia bài ra đăng nhiều lần nhé! . 

Đồng ý với cô Nguyễn Thị Linh Chi

Đăng nhiều thế mới nhìn đã choáng