a: ĐKXĐ: x∉{1;-1;2}

\(P=\left(\frac{x}{x+1}-\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-x^2}\right):\frac{x-2}{x^2-1}\)

\(=\left(\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right)\cdot\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-2}\)

\(=\frac{x\left(x-1\right)+x+1-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-2}\)

\(=\frac{x^2-x+x}{x-2}=\frac{x^2}{x-2}\)

b: Để P nguyên thì \(x^2\) ⋮x-2

=>\(x^2-4+4\) ⋮x-2

=>4⋮x-2

=>x-2∈{1;-1;2;-2;4;-4}

=>x∈{3;1;4;0;6;-2}

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: x∈{3;4;0;6;-2}

c: \(P=\frac{x^2}{x-2}\)

\(=\frac{x^2-4+4}{x-2}=x+2+\frac{4}{x-2}=x-2+\frac{4}{x-2}+4\ge2\cdot\sqrt{\left(x-2\right)\cdot\frac{4}{x-2}}+4\)

=>P>=2*2+4=8

Dấu '=' xảy ra khi \(\left(x-2\right)^2=4\)

=>x-2=2

=>x=4(nhận)

Để pt có 2 nghiệm thì \(\Delta'=m^2-4\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le-2\end{matrix}\right.\).

Khi đó theo hệ thức Viète ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=4\end{matrix}\right.\).

Ta có \(\left(x_1+1\right)^2+\left(x_2+1\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-2.4+2.2m=0\Leftrightarrow m^2+m-2=0\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m+2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\left(l\right)\\m=-2\left(TM\right)\end{matrix}\right.\).

Vậy m = -2.

Mn ơi giúp mình với ạ❤

\(x^2-2\left(2m+1\right)x+4m^2+4m=0\)

Để pt có hai ng pb\(\Leftrightarrow\Delta>0\)

\(\Leftrightarrow4>0\left(lđ\right)\)

\(\Rightarrow\)Pt luôn có hai ng pb với mọi m

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2\left(2m+1\right)+\sqrt{4}}{2}=2m+2\\x_2=\dfrac{2\left(2m+1\right)-\sqrt{4}}{2}=2m\end{matrix}\right.\)

Có \(\left|x_1-x_2\right|=x_1+x_2\)

\(\Leftrightarrow\left|2m+2-2m\right|=2m+2+2m\)

\(\Leftrightarrow2=4m+2\)

\(\Leftrightarrow m=0\)

Vậy...

Tham khảo 

Tìm m để phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2 + 4m = 0 

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-2\left(m^2-1\right)=-m^2-2m+3>0\)

\(\Rightarrow-3< m< 1\)

Khi đó theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{m^2-1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(P=\left(x_1-x_2\right)^2=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2\)

\(P=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-4x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)

\(P=\left(m-1\right)^2-4\left(\dfrac{m^2-1}{2}\right)\)

\(P=-m^2-2m+3=-\left(m^2+2m+1\right)+4\) 

\(P=-\left(m+1\right)^2+4\le4\)

\(P_{max}=4\) khi \(m+1=0\Leftrightarrow m=-1\) (thỏa mãn)

a: Ta có: \(A=x^2-20x+101\)

\(=x^2-20x+100+1\)

\(=\left(x-10\right)^2+1\ge1\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=10

Đặt \(A=\frac{3x}{x-4}+\frac{8x}{x^2-16}+\frac{x}{x+4}\)

ĐKXĐ: x<>4; x<>-4

\(A=\frac{3x}{x-4}+\frac{8x}{x^2-16}+\frac{x}{x+4}\)

\(=\frac{3x}{x-4}+\frac{8x}{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}+\frac{x}{x+4}\)

\(=\frac{3x\left(x+4\right)+8x+x\left(x-4\right)}{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}=\frac{3x^2+12x+8x+x^2-4x}{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}\)

\(=\frac{4x^2+16x}{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}=\frac{4x\left(x+4\right)}{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}=\frac{4x}{x-4}\)

\(=\frac{4x-16+16}{x-4}=4+\frac{16}{x-4}\)

Để A có giá trị lớn nhất thì \(\frac{16}{x-4}\) lớn nhất

=>x-4=1

=>x=5

\(x^2-2x+m=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4m=4-4m\)

Để pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thì \(\Delta>0\Leftrightarrow4-4m>0\Leftrightarrow-4m>-4\Leftrightarrow m< 1\)

Theo Vi-ét, ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(2\left(x_1x_2\right)^2-x_1=6+x_2\) 

\(\Leftrightarrow2\left(x_1x_2\right)^2-x_1-x_2-6=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x_1x_2\right)^2-\left(x_1+x_2\right)-6=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-2-6=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2=8\)

\(\Leftrightarrow m^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\left(ktm\right)\\m=-2\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=-2\) thì thỏa mãn đê bài.

Giải thích giúp em chỗ dấu tương tương thứ hai tại sao x1-x2 lại chuyển thành (x1+x2)  được không ạ