Ví p là SNT > 3

=> p có dạng 3q + 1 hoặc 3p + 2

+ Xét p = 3p + 2

Ta có :

p + 4 = 3p + 2 + 4 = 3 p + 6 = 3 ( p + 2 )

Vì 3 ( p + 2 ) chia hết cho 3 nên p + 4 là hợp số

=> loại p = 3p + 2

Vậy p = 3q + 1

Ta có :

p + 8 = 3q + 1 + 8 = 3q + 9 = 3 ( q + 3 )

Ví 3 ( q + 3 ) chia hết cho 3

Mà p + 8 > 3

=> p + 8 là hợp số

Vậy p + 8 là hợp số

Trong olm có ai ở Sài gòn không? ở quận mấy?

có ai ở long xuyên không?

có ai ở Đà lạt không?

Nếu có hãy nhắn tin vs mình nhé! Mình đã đọc nội qui.vui lòng ko đăng cái  thứ nhảm loz ấy lên đây=))

p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p = 3k + 1 hoặc 3k + 2 nhưng do p + 4 là số nguyên tố nên p không có dạng 3k + 2

+ Nếu p có dạng 3k + 1 thì p + 8 có dạng : ( 3k + 1 ) + 8 = 3k + 9 chia hết cho 3 là hợp số

Vậy p + 8 là hợp số ( dpcm )

làm cả tình bày cho mk nha

bài 3 nè : ta có a=42q+r=2*3*7q+r(q,r thuộc N,0<r<42 Vì a là SNT nên r ko chia hết cho 2,3,7 tìm các hợp số <42 loại chia hết cho 3,7 còn 25 r=25

Bài 1:

a: p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2

Nếu p=3k+1 thì 8p+1=8(3k+1)+1=24k+8+1=24k+9=3(8k+3)⋮3

=>Loại

=>p=3k+2

4p+1=4(3k+2)+1

=12k+8+1

=12k+9

=3(4k+3)⋮3

=>4p+1 là hợp số

b: TH1: p=3

\(2p^2+1=2\cdot3^2+1=2\cdot9+1=18+1=19\) là số nguyên tố

=>Nhận

\(7p+2=7\cdot3+2=21+2=23\) là số nguyên tố

TH2: p=3k+1

\(2p^2+1=2\left(3k+1\right)^2+1=2\left(9k^2+6k+1\right)+1\)

\(=18k^2+12k+2+1=18k^2+12k+3=3\left(6k^2+4k+1\right)\) ⋮3

=>Loại

TH3: p=3k+2

\(2p^2+1=2\left(3k+2\right)^2+1\)

\(=2\left(9k^2+12k+4\right)+1\)

\(=18k^2+24k+8+1=18k^2+24k+9=3\left(6k^2+8k+3\right)\) ⋮3

=>Loại

Bài 1

a) Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng \(8 p + 1\) là số nguyên tố. Chứng minh \(4 p + 1\) là hợp số.

Chứng minh \(8 p + 1\) là số nguyên tố:

• Ta có \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3, vậy \(p \geq 5\).
• Xét biểu thức \(8 p + 1\). Ta sẽ thử một số giá trị của \(p\):
• • Nếu \(p = 5\), ta có:
    \(8 p + 1 = 8 \left(\right. 5 \left.\right) + 1 = 41\)
    \(41\) là số nguyên tố.
  • Nếu \(p = 7\), ta có:
    \(8 p + 1 = 8 \left(\right. 7 \left.\right) + 1 = 57\)
    \(57\) không phải là số nguyên tố vì \(57 = 3 \times 19\).
  • Nếu \(p = 11\), ta có:
    \(8 p + 1 = 8 \left(\right. 11 \left.\right) + 1 = 89\)
    \(89\) là số nguyên tố.

Vậy, không phải mọi \(p\) thỏa mãn điều kiện bài toán đều tạo ra \(8 p + 1\) là số nguyên tố. Ta không thể chứng minh điều này với mọi \(p\). Nên bài toán này có thể cần điều kiện bổ sung hoặc có thể có lỗi trong cách đặt bài toán.

Chứng minh \(4 p + 1\) là hợp số:

• Ta có \(p \geq 5\), vậy xét \(4 p + 1\):
• • Nếu \(p = 5\), ta có:
    \(4 p + 1 = 4 \left(\right. 5 \left.\right) + 1 = 21\)
    \(21\) là hợp số vì \(21 = 3 \times 7\).
  • Nếu \(p = 7\), ta có:
    \(4 p + 1 = 4 \left(\right. 7 \left.\right) + 1 = 29\)
    \(29\) là số nguyên tố.
  • Nếu \(p = 11\), ta có:
    \(4 p + 1 = 4 \left(\right. 11 \left.\right) + 1 = 45\)
    \(45\) là hợp số vì \(45 = 3 \times 15\).

Như vậy, không phải mọi giá trị của \(p\) thỏa mãn điều kiện \(p\) đều tạo ra \(4 p + 1\) là hợp số. Ta không thể chứng minh điều này cho mọi \(p\) mà không có điều kiện bổ sung.

b) Chứng minh \(p\) và \(2 p^{2} + 1\) là các số nguyên tố. Hỏi \(7 p + 2\) là số nguyên tố hay hợp số?

Giả sử \(p\) là số nguyên tố và \(2 p^{2} + 1\) là số nguyên tố. Ta sẽ thử một số giá trị của \(p\).

• Nếu \(p = 5\), ta có:
  \(2 p^{2} + 1 = 2 \left(\right. 5 \left.\right)^{2} + 1 = 2 \left(\right. 25 \left.\right) + 1 = 51\)
  \(51\) không phải là số nguyên tố vì \(51 = 3 \times 17\).
  Như vậy, không phải mọi \(p\) thỏa mãn điều kiện bài toán đều tạo ra \(2 p^{2} + 1\) là số nguyên tố. Ta không thể chứng minh điều này với mọi giá trị của \(p\).

Bài 2

Cho số tự nhiên \(n > 2\) và không chia hết cho 3. Chứng minh rằng hai số \(n^{2} - 1\) và \(n^{2} + 1\) không thể đồng thời là số nguyên tố.

Chứng minh:

• Gọi \(p = n^{2} - 1\) và \(q = n^{2} + 1\).
• Ta biết \(p = n^{2} - 1 = \left(\right. n - 1 \left.\right) \left(\right. n + 1 \left.\right)\).
• • Nếu \(n\) là số nguyên lớn hơn 2, thì \(p = n^{2} - 1\) sẽ là một tích của hai số nguyên lớn hơn 1, do đó \(p\)là hợp số, không phải là số nguyên tố.
• Do đó, \(p = n^{2} - 1\) không thể là số nguyên tố.
• Tiếp theo, ta xét \(q = n^{2} + 1\).
• • \(n^{2} + 1\) có thể là số nguyên tố hoặc hợp số tùy thuộc vào giá trị của \(n\), nhưng không thể có cả \(p = n^{2} - 1\) và \(q = n^{2} + 1\) cùng là số nguyên tố.

Kết luận: Do \(p = n^{2} - 1\) không thể là số nguyên tố, nên \(n^{2} - 1\) và \(n^{2} + 1\) không thể đồng thời là số nguyên tố.

Bài 3

Ta gọi \(p\) và \(q\) là hai số nguyên tố liên tiếp nếu giữa \(p\) và \(q\) không có số nguyên tố nào khác (ví dụ: \(7\) và \(11\) là hai số nguyên tố liên tiếp). Tìm ba số nguyên tố liên tiếp \(p\), \(q\), \(r\) sao cho \(p^{2} + q^{2} + r^{2}\) cũng là số nguyên tố.

Giải:

Ta sẽ thử một số bộ ba số nguyên tố liên tiếp nhỏ:

• Nếu \(p = 3\), \(q = 5\), \(r = 7\), ta có:
  \(p^{2} + q^{2} + r^{2} = 3^{2} + 5^{2} + 7^{2} = 9 + 25 + 49 = 83\)
  \(83\) là số nguyên tố.

Vậy ba số nguyên tố liên tiếp \(p = 3\), \(q = 5\), \(r = 7\) thỏa mãn điều kiện bài toán, vì \(p^{2} + q^{2} + r^{2} = 83\) là số nguyên tố.

Kết luận: Ba số nguyên tố liên tiếp \(p = 3\), \(q = 5\), \(r = 7\) sao cho \(p^{2} + q^{2} + r^{2} = 83\) là số nguyên tố.

\(p\)là số nguyên tố\(>3\)

Nên\(p=3k+1\)hoặc\(3k+2\)

Xét\(p=3k+1,p+4=3k+1+4=3k+5\)(thỏa mãn)

Xét\(p=3k+2,p+4=3k+2+4=3k+6=3\left(k+2\right)\)là hợp số (loại)

Vậy\(p=3k+1,p+8=3k+1+8=3k+9=3\left(k+3\right)\)là hợp số\(\left(đpcm\right)\)

P+100 Là số nguyên tố

ta có p>3=>p đc viết dưới 2 dạng p=3k+1 và p=3k+2

xét p=3k+2

=>p+100=3k+2+100=3k+102 chia hết cho 3=>p+100 là hợp số

1)

+)Xét trường hợp p=2 =>p+6= 8 là hợp số (trái với giả thiết)

+) Xét trường hợp p=3 =>p+12=15 là hợp số (trái với giả thiết)

+)Xét trường hợp p>3 =>p có một trong hai dạng :3k+1 ; 3k+2

      Nếu p= 3k+1 =>p+8=3k+8+1=3k+9 chia hết cho 3  

            =>p+8 là hợp số (trái với giả thiết )

Vậy p phải có dạng là  3k+2

Nếu p=3k+2 =>p+4 = 3k+2+4 = 3k+6 =3.(k+2)=>p+4 chia hết cho 3

=>p+4 là hợp số (đpcm)

Vì p là số nguyên tố, p>3 nên p có một trong 2 dạng sau:

p=3k+1( k thuộc N*)

p=3k+2(k thuộc N*)

Nếu p=3k+2 ta có:

3k+2+4=3k+6=3(k+2) chia hết cho 3=> là hợp số(loại) vì p+4 là số nguyên tố

Nếu p=3k+1 ta có:

3k+1+8=3k+9=3(k+3) là hợp số phù hợp với đề bài

Vậy số nguyên tố p có dạng 3k+1 thì p+8 là hợp số.

Tick nha

Vì p là số nguyên tố, p>3 nên số p có 1 trong 2 dạng:

p=3k+1(k thuộc N*)

p=3k+2(k thuộc N*)

Thử vảo là xong