a:

Sửa đề: AB=6cm

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(MA=MB=MC=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔABC có

M,E lần lượt là trung điểm của BC,CA

=>ME là đường trung bình của ΔABC

=>ME//AB

=>ME⊥AC tại E

Xét tứ giác ADME có \(\hat{ADM}=\hat{AEM}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADME là hình chữ nhật

Xét tứ giác AMCK có

E là trung điểm chung của AC và MK

=>AMCK là hình bình hành

Hình bình hành AMCK có MA=MC

nên AMCK là hình thoi

c: Gọi O là giao điểm của AM và DE

ADME là hình chữ nhật

=>AM cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AM và DE

ADME là hình chữ nhật

=>AM=DE

mà \(OA=OM=\frac{AM}{2};OD=OE=\frac{DE}{2}\)

nên \(OA=OM=OD=OE=\frac{AM}{2}=\frac{DE}{2}\)

ΔMHA vuông tại H

mà HO là đường trung tuyến

nên \(HO=\frac{MA}{2}\)

mà MA=DE
nên \(HO=\frac{DE}{2}\)

Xét ΔHDE có

HO là đường trung tuyến

\(HO=\frac{DE}{2}\)

Do đó: ΔHDE vuông tại H

=>\(HD^2+HE^2=ED^2\)

=>\(HD^2+HE^2=AM^2=\left(\frac12BC\right)^2=\frac14BC^2\)

=>\(BC^2=4\cdot HD^2+4\cdot HE^2\)

a: Xét ΔABM và ΔACM có

AB=AC

BM=CM

AM chung

=>ΔABM=ΔACM

b: Xét ΔADM vuông tại D và ΔAEM vuông tại E có

AM chung

góc DAM=góc EAM

=>ΔADM=ΔAEM

=>MD=ME

=>ΔMED cân tại M

c: Xét ΔCAB có

M là trung điểm của CB

MF//AB

=>F là trung điểm của AC

a: Xét tứ giác BFME có \(\hat{BFM}=\hat{BEM}=\hat{EBF}=90^0\)

nên BFME là hình chữ nhật

b: BFME là hình chữ nhật

=>MF//BE

=>MF//BA

BFME là hình chữ nhật

=>ME//BF

=>ME//BC

Xét ΔBAC có

M là trung điểm của AC

MF//AB

Do đó: F là trung điểm của BC

Xét ΔBAC có

M là trung điểm của AC

ME//BC

Do đó: E là trung điểm của AB

Xét tứ giác BMCN có

F là trung điểm chung của BC và MN

=>BMCN là hình bình hành

Hình bình hành BMCN có BC⊥MN

nên BMCN là hình thoi

c: BMCN là hình thoi

=>BN//CM

=>BN//CA

=>ABNC là hình thang

ΔBCA vuông tại B

=>\(\hat{BAC}+\hat{BCA}=90^0\)

=>\(\hat{BCA}=90^0-60^0=30^0\)

BMCN là hình thoi

=>CB là phân giác của góc MCN

=>\(\hat{MCN}=2\cdot\hat{MCB}=2\cdot30^0=60^0\)

Hình thang BNCA có BN//CA và \(\hat{NCA}=\hat{BAC}\left(=60^0\right)\)

nên BNCA là hình thang cân

câu a)

câu b)

a: Xét tứ giác ADME có

góc ADM=góc AEM=góc DAE=90 độ

nên ADME là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AMBP có

D là trung điểm chung của AB và MP

MA=MB

Do đó: AMBP là hình thoi

=>ABlà phân giác của góc MAP(1)

c: Xét tứ giác AMCQ có

E là trung điểm chung của AC và MQ

MA=MC

Do đó: AMCQ là hình thoi

=>AC là phân giác của góc MAQ(2)

Từ (1), (2) suy ra góc PAQ=2*90=180 độ

=>P,A,Q thẳng hàng

mà AP=AQ

nên A là trung điểm của PQ

a: Xét tứ giác AEMF có \(\hat{AEM}=\hat{AFM}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEMF là hình chữ nhật

b:

Sửa đề: Chứng minh B,F,N thẳng hàng

Xét tứ giác ABCN có

AB//CN

AN//BC

Do đó: ABCN là hình bình hành

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MF//AB

Do đó: F là trung điểm của AC

ABCN là hình bình hành

=>AC cắt BN tại trung điểm của mỗi đường

mà F là trung điểm của AC

nên F là trung điểm của BN

=>B,F,N thẳng hàng

b ơi b có kiến thức cơ bản không để mình chỉ hướng dẫn b làm th chứ làm hết dài lắm

bạn cứ làm hết đi ạ rồi mình sẽ lựa chọn rồi rút ngắn lại ạ

a: Xét tứ giác ADME có \(\hat{ADM}=\hat{AEM}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADME là hình chữ nhật

=>AM=DE

b: Ta có: MD⊥AB

AC⊥BA

Do đó: MD//AC

Ta có: ME⊥AC

AB⊥CA

Do đó: ME//AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó; D là trung điểm của AB

=>DA=DB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

ME//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

=>EA=EC

mà EA=MD(ADME là hình chữ nhật)

nên MD=EC

Xét tứ giác MDEC có

MD//EC

MD=EC

Do đó: MDEC là hình bình hành

c: Xét ΔABC có

E,D lần lượt là trung điểm của AC,AB

=>ED là đường trung bình của ΔABC

=>ED//BC

=>MH//ED

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HE là đường trung tuyến

nên HE=AE

mà AE=MD

nên HE=MD

Xét tứ giác MHDE có

MH//DE
MD=HE

Do đó: MHDE là hình thang cân