a, Xét tam giác ABH vuông tại H, đường cao HG 

Ta có : \(NH^2=AB.BG\)( hệ thức lượng ) 

b, Xét tam giác AHC vuông tại H, đường cao HK 

Ta có : \(AH^2=AK.AC\)( hệ thức lượng ) (1) 

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH 

Ta có : \(AH^2=HB.HC\)( hệ thức lượng ) (2) 

Từ (1) ; (2) suy ra : \(AK.AC=HB.HC\Rightarrow\frac{AC}{HC}=\frac{HB}{AK}\)

giúp mk vs ạ cảm ơn

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AB^2=BH*BC

b: \(AH=\sqrt{9\cdot16}=12\left(cm\right)\)

\(AB=\sqrt{9\cdot25}=15\left(cm\right)\)

=>AC=20(cm)

a: Xét ΔAKC có

AH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

góc C=60 độ

=>ΔAKC đều

b: ΔKAB có góc KAB=góc KBA=30 độ

nên ΔKAB cân tạiK

=>KA=KB=KC

=>K là trung điểm của BC

a: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>AH=EF

b: Ta có: AEHF là hình chữ nhật

=>AF//HE và AF=HE

AF//HE

=>MF//HE

AF=HE

AF=FM

Do đó: HE=FM

Xét tứ giác MHEF có

MF//HE

MF=HE

Do đó: MHEF là hình bình hành

c: ΔHEB vuông tại E
mà EI là đường trung tuyến

nên IE=IH

=>ΔIEH cân tại I

=>\(\hat{IEH}=\hat{IHE}\)

mà \(\hat{IHE}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị, HE//AC)

nên \(\hat{IEH}=\hat{ACB}\)

Ta có: ΔCFH vuông tại F

mà FK là đường trung tuyến

nên KF=KH

=>ΔKFH cân tại K

=>\(\hat{KFH}=\hat{KHF}\)

mà \(\hat{KHF}=\hat{ABC}\) (hai góc đồng vị, FH//AB)

nên \(\hat{KFH}=\hat{ABC}\)

AEHF là hình chữ nhật

=>\(\hat{FEH}=\hat{FAH}=\hat{HAC}\)

AEHF là hình chữ nhật

=>\(\hat{EFH}=\hat{EAH}=\hat{BAH}\)

\(\hat{KFE}=\hat{KFH}+\hat{EFH}=\hat{ABC}+\hat{HAB}=90^0\)

=>KF⊥FE tại F

\(\hat{IEF}=\hat{IEH}+\hat{FEH}=\hat{HAC}+\hat{HCA}=90^0\)

=>EI⊥EF tại E

mà KF⊥FE

nên KF//IE

=>KFEI là hình thang

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot BC=4\cdot6=24\)

Diện tích hình thang KFEI là:

\(S_{KFEI}=\frac12\cdot\left(KF+EI\right)\cdot FE=\frac12\cdot AH\cdot\left(\frac12HB+\frac12HC\right)\)

\(=\frac14\cdot AH\cdot BC=\frac14\cdot24=6\left(cm^2\right)\)

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\dfrac{HB}{HC}\)(đpcm)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(BD\cdot BA=BH^2\)

\(\Leftrightarrow BD=\dfrac{HB^2}{AB}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(CE\cdot CA=CH^2\)

\(\Leftrightarrow EC=\dfrac{HC^2}{AC}\)

Ta có: \(\dfrac{BD}{EC}=\dfrac{HB^2}{AB}:\dfrac{HC^2}{AC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{EC}=\dfrac{HB^2}{AB}\cdot\dfrac{AC}{HC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{EC}=\left(\dfrac{HB}{HC}\right)^2\cdot\dfrac{AC}{AB}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{EC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^4\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^4}{AC^4}\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)(đpcm)

a: ΔABC vuông tại A có AM là trung tuyến

nên MA=MC=MB

=>góc MAC=góc MCA=góc BAH

b: góc ADH=góc AEH=góc DAE=90 độ

=>ADHE là hình chữ nhật

góc EAM+góc AED

=góc AHD+góc MCA

=góc ABC+góc MCA=90 độ

=>AM vuông góc ED