Ta có:

a-b+b-a=(a-a)+(b+b)=0+0=0

2 số đối nhau thì có tổng bằng 0

Vậy a-b và b-a là hai số đối nhau

a) Gọi d là UCLN ( a,a-b )

=> a chia hết cho d

     a - b chia hết cho d

=> a - a - b chia hết cho d 

=> b chia hết cho d

Mà UCLN( a , b ) = 1

=> d = 1

Vậy b và a - b là 2 số nguyên tố cùng nhau

Để chứng tỏ a‐b và ‐a + b là hai số đối nhau ta cần chứng minh tổng của chúng bằng 0 

Xét tổng : ﴾ a‐b ﴿ + ﴾ ‐a  + b  ﴿ = [ a +﴾ ‐a ﴿] + [ b + ﴾‐b ﴿] => 0 + 0 = 0

vậy a‐b và ‐a + b là hai số đói nhau 

ab - ac + bc - c^2 = -1

=> a ( b-c) + c( b-c) = -1

=> ( a+c) (b-c) = -1

=> a+c = 1 (1)

b-c = -1 => c = b+1 

thay vào (1) ta có 

a+c = 1

=> a+ b+1 = 1

=> a+b = 0

=> a=-b ( đpcm)

Câu a:

Gọi ƯCLN(9n + 7; 4n + 3) = d, khi đó:

(9n + 7) ⋮ d và (4n + 3) ⋮ d

[36n + 28] ⋮ d và [26n + 27] ⋮ d

[36n + 28 - 36n- 27] ⋮ d

[(36n - 36n) + (28 - 27)] ⋮ d

[0 + 1] ⋮ d

d = 1

Vậy 9n + 7 và 4n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. (đpcm)

b, Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n^2+n+2016 không chia hết cho 5.

Giải:

Giả sử biểu thức đã cho chia hết cho 5 với mọi n ∈ N khi đó:

Với n = 0 thì:

n^2 + n + 2016 = 0 + 0+ 2016 = 2016 chia hết cho 5 vô lí

Vậy điều giả sử là sai hay n^2+n+2016 không chia hết cho 5.

a vừa là ước vừa là bội của b thì chắc chắn |a|=b hay a=b hoặc a=-b 
có thể chứng minh đơn giản như sau: giả sử a= bx và b=ay ( với x ; y là 2 số nguyên) 
thế b=ay vào a=bx ta được: a= axy => xy=1 vì x và y nguyên nên 
x=1 và y=1 hoặc x=-1 và y=-1 thay x và y vào điều giả sử ta được a=b hoặc a=-b