Chọn C

Phương pháp:

- Xác định góc giữa mặt phẳng (SBD) với (ABD) (góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến)

- Tính khoảng cách dựa vào công thức tỉ số khoảng cách:

Cách giải

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(2a,0,0)$.

Gọi $D(x,h,0),\ C(x+a,h,0)$ (vì $DC = a$ và $AB \parallel DC$).

Điều kiện:
$AD = a \Rightarrow x^2 + h^2 = a^2$
$BC = a \Rightarrow (x-a)^2 + h^2 = a^2$

Lấy hiệu: $(x-a)^2 - x^2 = 0 \Rightarrow -2ax + a^2 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}$

Thay vào: $\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{3a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Suy ra: $D\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right),\ C\left(\dfrac{3a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$: $\vec{SB} = (2a,0,-h),\ \vec{SD} = \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},-h\right)$.

Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = \left(\dfrac{a h\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{3ah}{2},\ a^2\sqrt{3}\right)$.

Góc giữa $(SBD)$ và đáy là $45^\circ$:

$\sin 45^\circ = \dfrac{|\text{hệ số }z|}{|\vec{n}|} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{\sqrt{\dfrac{3a^2h^2}{4} + \dfrac{9a^2h^2}{4} + 3a^4}}$

Rút gọn:

$\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{\sqrt{3a^2h^2 + 3a^4}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3h^2 + 3a^2}}$

⇒ $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

⇒ $h^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow h^2 = a^2 \Rightarrow h = a$

⇒ $S(0,0,a)$.

Trung điểm $I$ của $AB$: $I(a,0,0)$.

Khoảng cách từ $I$ đến $(SBD)$: $\vec{SI} = (a,0,-a)$

$d = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{SI}|}{|\vec{n}|}$

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{SI} = \dfrac{a h\sqrt{3}}{2} \cdot a + 0 + a^2\sqrt{3} \cdot (-a) = \dfrac{a^2h\sqrt{3}}{2} - a^3\sqrt{3}$

Thay $h = a$:

$= \dfrac{a^3\sqrt{3}}{2} - a^3\sqrt{3} = -\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$

⇒ giá trị tuyệt đối: $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$

$|\vec{n}| = \sqrt{3a^2h^2 + 3a^4} = a^2\sqrt{6}$

Suy ra: $d = \dfrac{\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}}{a^2\sqrt{6}} = \dfrac{a}{2\sqrt{2}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$

Vậy $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$

Đáp án D

Gọi I và J lần lượt là trung điểm AB,CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và (SAD).

S A ⊥ A D , A B ⊥ S A D ,IJ// S A D ⇒ d IJ; S A D = d I; S A D = I A = a 2

Ta có: `EF` là đường trung bình của tam giác `ABC` nên `EF`//`AB`

`ABCD` là hình thang => `CD`//`AB` 

Do đó: `EF`//`CD` `(đpcm)`

Do IJ là đường thẳng trung bình của hình thang ABCD nên IJ // AB. Hai mặt phẳng (GIJ) và (SAB) lần lượt chứa hai đường thẳng song song nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua G và song song với AB. Đường thẳng này cắt SA tại điểm M và cắt SB tại N. vậy thiết diện là hình thang MIJN, với M, N là giao điểm của đường thẳng đi qua G và song song với AB với hai đường thẳng SA, SB.

Đáp án B.

Đáp án B

Ta có: