Chọn D

+Hình chóp S. ABCD có 4 mặt bên là (SAB);  (SBC) ; (SCD) và (SAD): Do đó A đúng.

+ S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)

 là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)

O ∈ A C ⊂ S A C ⇒ O ∈ S A C O ∈ B D ⊂ S B D ⇒ O ∈ S B D ⇒ O

=> giao tuyến của ( SAC)  và (SBD) là  SO.

Do đó B đúng.

+ Tương tự, ta có giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và ( SBD) là SI ( I là giao điểm của AD và BC). Do đó C đúng.

 + giao tuyến của ( SAB) và (SAD)  là SA mà SA không phải là đường trung bình của hình thang ABCD.

Do đó D sai.

Đáp án A

ABCD là hình thanh cân có AB = BC = CD = a; AD = 2a nên M là tâm của đáy ABCD.

SA = AD = 2a; SA ⊥ (ABCD) => tam giác SAD vuông cân tại A nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm N của SD

Gọi hình thang cân $ABCD$ có đáy $AD = 2a$, $AB = BC = CD = a$.

Đỉnh $S$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2a$, nên $S$ nằm thẳng đứng trên mặt đáy.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ là nửa khoảng cách giữa hai đỉnh đối nhau lớn nhất của chóp.

Xét các đỉnh: đỉnh cao $S$ và các đỉnh đáy. Đường chéo dài nhất từ $S$ đến một đỉnh đáy xa nhất. Giả sử $S$ trên đường thẳng đi qua trung điểm $AD$.

Chiều dài đường chéo lớn nhất: $SC$ (vì $C$ nằm xa $S$ nhất trong mặt đáy).

- Đặt hệ trục: $A(-a,0,0), D(a,0,0), B(-\frac{a}{2},h,0), C(\frac{a}{2},h,0)$, với $h$ là chiều cao của hình thang đáy.

- Tính $h$: $AB = BC = a$, $AD = 2a$, hình thang cân ⇒ $h = \sqrt{AB^2 - \left(\frac{AD - BC}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{2a - a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tọa độ $S$ trên trục vuông góc: $S(0,0,2a)$, $C(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

Khoảng cách $SC = \sqrt{ \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} - 0\right)^2 + (0 - 2a)^2 }

= \sqrt{ \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + 4a^2 } = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5} a$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: $R = \dfrac{SC}{2} = \dfrac{a \sqrt{5}}{2}$

Diện tích mặt cầu:

$S = 4 \pi R^2 = 4 \pi \left(\dfrac{a \sqrt{5}}{2}\right)^2 = 4 \pi \cdot \dfrac{5 a^2}{4} = 5 \pi a^2$

Do IJ là đường thẳng trung bình của hình thang ABCD nên IJ // AB. Hai mặt phẳng (GIJ) và (SAB) lần lượt chứa hai đường thẳng song song nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua G và song song với AB. Đường thẳng này cắt SA tại điểm M và cắt SB tại N. vậy thiết diện là hình thang MIJN, với M, N là giao điểm của đường thẳng đi qua G và song song với AB với hai đường thẳng SA, SB.

Đáp án B.

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AB\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SB\)

\(\Rightarrow\Delta SBC\) vuông tại B

b. \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp BD\\BD\perp SC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BD\perp AC\)

\(\Rightarrow\widehat{BCA}=\widehat{ABD}\) (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

\(\Rightarrow AD=AB.tan\widehat{ABD}=AB.\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{a}{2}\)

c. Theo c/m câu a ta có \(BC\perp\left(SAB\right)\), mà \(AD||BC\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow AD\perp BM\)

Mà \(BM\perp DE\) (do DE là đường cao ứng với BM)

\(\Rightarrow BM\perp\left(ADE\right)\Rightarrow BM\perp AE\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABM:

\(AE=\dfrac{AM.AB}{\sqrt{AM^2+AB^2}}=\dfrac{ax}{\sqrt{a^2+x^2}}\)

Pitago tam giác vuông ADE:

\(DE^2=AE^2+AD^2=\dfrac{a^2x^2}{a^2+x^2}+\dfrac{a^2}{4}\)

Do \(AD=\dfrac{a}{2}\) không đổi nên DE max, min tương ứng khi AE max, min

Hiển nhiên \(AE\ge0\Rightarrow AE_{min}=0\) khi \(x=0\) khi đó DE min

\(AE^2=\dfrac{a^2x^2}{a^2+x^2}\le\dfrac{a^2x^2}{2ax}=\dfrac{ax}{2}\le\dfrac{a^2}{2}\)

\(\Rightarrow AE_{max}\) khi \(x=3\)

I là điểm nào?

Đáp án D

Vì I là hình chiếu của S trên (ABCD)

=  a 15 2

Vậy 

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ D(0,a,0)$.

Vì $AD \parallel BC,\ AD = a,\ DC = a$ nên đặt $C(a,a,0)$.

Trung điểm $I$ của $AD$: $I(0,\dfrac{a}{2},0)$.

Hình chiếu của $S$ xuống đáy là $I$ ⇒ đặt $S(0,\dfrac{a}{2},h)$.

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = (a,\dfrac{a}{2},-h),\quad SC = \sqrt{a^2 + \dfrac{a^2}{4} + h^2} = \sqrt{\dfrac{5a^2}{4} + h^2}$.

Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SI}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{5a^2}{4} + h^2}}$

⇒ $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{5a^2}{4} + h^2}}$

Giải ra: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{5a^2}{4} + h^2}$

⇒ $3\left(\dfrac{5a^2}{4} + h^2\right) = 4h^2$

⇒ $\dfrac{15a^2}{4} + 3h^2 = 4h^2$

⇒ $h^2 = \dfrac{15a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

Thể tích khối chóp $S.IBC$:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle IBC} \cdot SI$

Tính diện tích $\triangle IBC$:

$\vec{IB} = (2a,-\dfrac{a}{2},0),\ \vec{IC} = (a,\dfrac{a}{2},0)$

$S_{\triangle IBC} = \dfrac{1}{2} |\vec{IB} \times \vec{IC}|$

$= \dfrac{1}{2} \cdot \left| \begin{vmatrix} 2a & -\dfrac{a}{2} \ a & \dfrac{a}{2} \end{vmatrix} \right|$

$= \dfrac{1}{2} \cdot \left| a^2 + \dfrac{a^2}{2} \right| = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3a^2}{2} = \dfrac{3a^2}{4}$

Suy ra: $V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a^2}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt{15}}{2} = \dfrac{a^3\sqrt{15}}{8}$

Đáp án: D. $\dfrac{a^3\sqrt{15}}{8}$

Đáp ván A

Vì I là hình chiếu của S trên (ABCD)

⇒ ( S C → , ( A B C D ) ) = S C I ⏞

⇒ S I = I C . tan 60 ° = a 5 2 . tan 60 ° = a 15 2

Vậy  

V S . I B C = V S . A B C D - V S . A I B - V S . I C D = 1 3 . a 15 2 a + 2 a 2 . a - 1 2 . a 2 . 2 a - 1 2 . a 2 . a = a 3 15 8

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ D(a,0,0),\ B(2a,0,0),\ C(a, a,0)$.

Trung điểm $I$ của $AD$: $I\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$.

Hình chiếu của $S$ lên đáy là $I$ ⇒ $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$:

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, -h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

Chiều cao $h$ được xác định từ:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SI}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + a^2 + h^2}}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\frac{5a^2}{4} + h^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\frac{5a^2}{4} + h^2} \Rightarrow 3\left(\frac{5a^2}{4} + h^2\right) = 4 h^2$

$ \Rightarrow \dfrac{15a^2}{4} + 3h^2 = 4 h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{15a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

Thể tích khối chóp $S.IBC$:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle IBC} \cdot SI$

Tính diện tích $\triangle IBC$:

$\vec{IB} = (2a - \frac{a}{2}, 0 - 0, 0) = \left(\frac{3a}{2},0,0\right)$

$\vec{IC} = (a - \frac{a}{2}, a - 0, 0) = \left(\frac{a}{2},a,0\right)$

$S_{\triangle IBC} = \dfrac{1}{2} |\vec{IB} \times \vec{IC}|$

$\vec{IB} \times \vec{IC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{3a}{2} & 0 & 0 \ \frac{a}{2} & a & 0 \end{vmatrix} = (0,0, \frac{3a^2}{2})$

$S_{\triangle IBC} = \dfrac{1}{2} \cdot \frac{3a^2}{2} = \dfrac{3a^2}{4}$

Chiều cao: $SI = h = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

$V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a^2}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt{15}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{8}$