\(2\left(2x+y^2-2y\sqrt{x-1}+2\sqrt{x-1}-4y+3\right)=0\)

Ta có:

\(VT=\left(y-1\right)^2-4\sqrt{x-1}\left(y-1\right)+4\left(x-1\right)+y^2-6y+9\)

\(=\left[\left(y-1\right)-2\sqrt{x-1}\right]^2+\left(y-3\right)^2\ge0=VP\)

Dấu = xảy ra khi:

\(\hept{\begin{cases}y-3=0\\y-1=2\sqrt{x-1}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=3\\x=2\end{cases}}\)

Câu 4:

5x + 7y = 112

5(x+ y) = 112 - 2y

5(x + y) = 2(56 - y)

\(\begin{cases}x+y=2\\ 56-y=5\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=2\\ y=56-5\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=2-y\\ y=51\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=2-51\\ y=51\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=-49\\ y=51\end{cases}\)

Vậy (x ; y) = (-49; 51)

1)<=> \(\left(x^2+2x+1\right)-\left(y^2+4x+4\right)-7=0\)

=> \(\left(x+1\right)^2-\left(y+2\right)^2=7\)

\(\Rightarrow\left(x+1-y-2\right)\left(x+1+y+2\right)=7\)

\(\left(x-y-1\right)\left(x+y+3\right)=7\)

vì x;y là số nguyên dương=> \(x;y\ge1\Rightarrow x+y+3\ge1+1+3=5\)

=> \(x+y+3=7\Rightarrow x+y=4\)

\(x-y-1=1\Rightarrow x-y=2\)

cộng hai phương trình ta có:

=> \(\left(x+y\right)+\left(x-y\right)=4+2\)

=> \(2x=6\)

=> x=3

=> y=4-3=1

2)<=> \(\left(x^2+xy+2x\right)+\left(2xy+2y^2+4y\right)+\left(x+y+2\right)=17\)

=> \(x\left(x+y+2\right)+2y\left(x+y+2\right)+1\left(x+y+2\right)=17\)

=> \(\left(x+y+2\right)\left(x+2y+1\right)=17\)

1) ta có: A= x^3 -8y^3=> A=(x-2y)(x^2 +2xy+4y^2)=>A=5.(29+2xy)   (vì x-2y=5 và x^2+4y^2=29)     (1)

Mặt khác : x-2y=5(gt)=> (x-2y)^2=25=> x^2-4xy+4y^2=25=>29-4xy=25(vì x^2+4y^2=29)

                                                                                          => xy=1    (2)

Thay (2) vào (1) ta đc: A= 5.(29+2.1)=155

Vậy gt của bt A là 155

2) theo bài ra ta có: a+b+c=0 => a+b=-c=>(a+b)^2=c^2=> a^2 +b^2+2ab=c^2=>c^2-a^2-b^2=2ab

=> \(\left(c^2-a^2-b^2\right)^2=4a^2b^2\)

=>\(c^4+a^4+b^4-2c^2a^2+2a^2b^2-2b^2c^2=4a^2b^2\)

=>\(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)

=>\(2\left(a^4+b^4+c^4\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

=> \(a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\) (đpcm)

Ta có: \(\dfrac{x}{x^2+1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{-\left(x-1\right)^2}{x^2+1}\le0\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{x^2+1}\le\dfrac{1}{2}\) ;\(\forall x\)

Mặt khác: \(y^2-4y+5=\left(y-2\right)^2+1\ge1\)

\(\Rightarrow y^2-4y+5>\dfrac{x}{x^2+1}\) ; \(\forall x;y\)

\(\Rightarrow\) Không tồn tại x, y thỏa mãn yêu cầu đề bài