a) -Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DC tại E.

-Xét tứ giác ABED: \(\widehat{ADE}=\widehat{BAD}=\widehat{DEB}=90^0\)

\(\Rightarrow\)ABED là hình chữ nhật nên \(AD=BE\); \(AB=ED=4\left(cm\right)\)

-Xét △BEC vuông tại E:

\(BE^2+EC^2=BC^2\) (định lí Py-ta-go)

\(\Rightarrow BE^2+\left(DC-DE\right)^2=BC^2\)

\(\Rightarrow BE^2+\left(9-4\right)^2=13^2\)

\(\Rightarrow BE^2=13^2-5^2=144\)

\(\Rightarrow BE=AD=12\left(cm\right)\)

b) \(S_{ABCD}=\dfrac{AD.\left(AB+CD\right)}{2}=\dfrac{12.\left(4+9\right)}{2}=78\left(cm^2\right)\)

c) -Đề sai.

a: Xét tứ giác ABKD có \(\hat{BAD}=\hat{ADK}=\hat{BKD}=90^0\)

nên ABKD là hình chữ nhật

=>AB=DK và BK=AD

AB=DK

mà AB=4cm

nên DK=4cm

Ta có: DK+KC=DC

=>KC=DC-DK=9-4=5(cm)

ΔBKC vuông tại K

=>\(BK^2+KC^2=BC^2\)

=>\(BK^2=13^2-5^2=144=12^2\)

=>BK=12(cm)

mà BK=AD

nên AD=12cm

M là trung điểm của AD

=>\(AM=MD=\frac{AD}{2}=\frac{12}{2}=6\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔABM vuông tại A và ΔDMC vuông tại D có

\(\frac{AB}{DM}=\frac{AM}{DC}\left(\frac46=\frac69=\frac23\right)\)

Do đó: ΔABM~ΔDMC

c: ΔABM~ΔDMC

=>\(\hat{ABM}=\hat{DMC}\)

mà \(\hat{ABM}+\hat{AMB}=90^0\) (ΔAMB vuông tại A)

nên \(\hat{DMC}+\hat{AMB}=90^0\)

Ta có: \(\hat{AMB}+\hat{BMC}+\hat{CMD}=180^0\)

=>\(\hat{BMC}=180^0-90^0=90^0\)

a: Gọi K là giao điểm của BM và CD

Xét ΔMAB và ΔMDK có

\(\hat{MAB}=\hat{MDK}\) (hai góc so le trong, AB//DK)

MA=MD

\(\hat{AMB}=\hat{DMK}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMAB=ΔMDK

=>MB=MK và AB=DK

AB=DK

=>DK=4(cm)

DK+DC=CK

=>CK=4+6=10(cm)

=>CK=CB

Xét ΔCMK và ΔCMB có

CM chung

MK=MB

CK=CB

Do đó: ΔCMK=ΔCMB

=>\(\hat{MCK}=\hat{MCB}\)

=>CM là phân giác của góc BCD
Ta có: ΔCMK=ΔCMB

=>\(\hat{CKM}=\hat{CBM}\)

mà \(\hat{CKM}=\hat{ABM}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

nên \(\hat{ABM}=\hat{CBM}\)

=>BM là phân giác của góc ABC

b: ΔCMB=ΔCMK

=>\(\hat{CMB}=\hat{CMK}\)

mà \(\hat{CMB}+\hat{CMK}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{CMB}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

Xét hình thang ABCD có

M,N lần lượt là trung điểm của BC,AD

=>MN là đường trung bình của hình thang ABCD
=>MN//AB//CD và \(MN=\frac{AB+CD}{2}\)

MN//AB

AB⊥ AD

Do đó: MN⊥AD tại N

\(MN=\frac{AB+CD}{2}\)

\(=\frac{3+5}{2}=\frac82=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

N là trung điểm của AD

=>\(AN=ND=\frac{AD}{2}=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét tứ giác DNMK có \(\hat{DNM}=\hat{NDK}=\hat{MKD}=90^0\)

nên DNMK là hình chữ nhật

Hình chữ nhật DNMK có NM=ND

nên DNMK là hình vuông

a: Kẻ BH⊥DC tại H

Xét tứ giác ABHD có \(\hat{BAD}=\hat{ADH}=\hat{BHD}=90^0\)

nên ABHD là hình chữ nhật

=>AB=HD=9cm và AD=BH

DH+HC=DC

=>HC=DC-DH=16-9=7(cm)

ΔBHC vuông tại H

=>\(BH^2+HC^2=BC^2\)

=>\(BH^2=25^2-7^2=625-49=576=24^2\)

=>BH=24(cm)

AD=BH

=>AD=24(cm)

b: Gọi I là giao điểm của BM và DC

Xét ΔMAB vuông tại A và ΔMDI vuông tại D có

MA=MD

\(\hat{AMB}=\hat{DMI}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMAB=ΔMDI

=>MB=MI và AB=DI

DI=AB

=>DI=9cm

DI+DC=9+16=25(cm)

=>CI=25cm=CB

Xét ΔCMI và ΔCMB có

CM chung

MI=MB

CI=CB

Do đó: ΔCMI=ΔCMB

=>\(\hat{CMI}=\hat{CMB}\)

mà \(\hat{CMI}+\hat{CMB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{CMI}=\hat{CMB}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>ΔMBC vuông tại M

ΔCMI=ΔCMB

=>\(\hat{MIC}=\hat{MBC}\)

mà \(\hat{MIC}=\hat{MBA}\) (hai góc so le trong, AB//CI)

nên \(\hat{MBA}=\hat{MBK}\)

Xét ΔBAM vuông tại A và ΔBKM vuông tại K có

BM chung

\(\hat{ABM}=\hat{KBM}\)

Do đó: ΔBAM=ΔBKM

=>BA=BK=9cm; MA=MK=AD/2=12(cm)

Xét ΔMBC vuông tại M có MK là đường cao

nên \(MK^2=BK\cdot KC\)

=>KC=12^2/9=16(cm)

ΔMKC vuông tại K

=>\(S_{KMC}=\frac12\cdot KM\cdot KC=\frac12\cdot12\cdot16=6\cdot16=96\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

a: Kẻ BH⊥DC tại H

Xét tứ giác ABHD có \(\hat{BAD}=\hat{ADH}=\hat{BHD}=90^0\)

nên ABHD là hình chữ nhật

=>AB=HD=9cm và AD=BH

DH+HC=DC

=>HC=DC-DH=16-9=7(cm)

ΔBHC vuông tại H

=>\(BH^2+HC^2=BC^2\)

=>\(BH^2=25^2-7^2=625-49=576=24^2\)

=>BH=24(cm)

AD=BH

=>AD=24(cm)

b: Gọi I là giao điểm của BM và DC

Xét ΔMAB vuông tại A và ΔMDI vuông tại D có

MA=MD

\(\hat{AMB}=\hat{DMI}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMAB=ΔMDI

=>MB=MI và AB=DI

DI=AB

=>DI=9cm

DI+DC=9+16=25(cm)

=>CI=25cm=CB

Xét ΔCMI và ΔCMB có

CM chung

MI=MB

CI=CB

Do đó: ΔCMI=ΔCMB

=>\(\hat{CMI}=\hat{CMB}\)

mà \(\hat{CMI}+\hat{CMB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{CMI}=\hat{CMB}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>ΔMBC vuông tại M

ΔCMI=ΔCMB

=>\(\hat{MIC}=\hat{MBC}\)

mà \(\hat{MIC}=\hat{MBA}\) (hai góc so le trong, AB//CI)

nên \(\hat{MBA}=\hat{MBK}\)

Xét ΔBAM vuông tại A và ΔBKM vuông tại K có

BM chung

\(\hat{ABM}=\hat{KBM}\)

Do đó: ΔBAM=ΔBKM

=>BA=BK=9cm; MA=MK=AD/2=12(cm)

Xét ΔMBC vuông tại M có MK là đường cao

nên \(MK^2=BK\cdot KC\)

=>KC=12^2/9=16(cm)

ΔMKC vuông tại K

=>\(S_{KMC}=\frac12\cdot KM\cdot KC=\frac12\cdot12\cdot16=6\cdot16=96\left(\operatorname{cm}^2\right)\)