Trên tia đối của tia MA, lấy I sao cho MA=MI. Gọi H là giao điểm của AM và DE

Xét ΔMAB và ΔMIC có

MA=MI

\(\hat{AMB}=\hat{IMC}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMIC

=>\(\hat{MAB}=\hat{MIC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//IC

=>\(\hat{BAC}+\hat{ACI}=180^0\) (1)

Ta có: \(\hat{DAB}+\hat{DAE}+\hat{EAC}+\hat{BAC}=360^0\)

=>\(\hat{DAE}+\hat{BAC}=360^0-90^0-90^0=180^0\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{ACI}=\hat{EAD}\)

ΔMAB=ΔMIC

=>AB=IC

mà AB=AD

nên IC=AD

Xét ΔACI và ΔEAD có

AC=EA

\(\hat{ACI}=\hat{EAD}\)

CI=AD

Do đó: ΔACI=ΔEAD

=>\(\hat{CAI}=\hat{AED}\)

TA có: \(\hat{CAI}+\hat{CAE}+\hat{EAH}=180^0\)

=>\(\hat{AED}+\hat{EAH}=180^0-90^0=90^0\)

=>AM⊥DE tại H

a: Xét ΔAIB và ΔAIC có

AB=AC

\(\hat{BAI}=\hat{CAI}\)

AI chung

Do đó: ΔAIB=ΔAIC

=>\(\hat{AIB}=\hat{AIC}\)

mà \(\hat{AIB}+\hat{AIC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AIB}=\hat{AIC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>AI⊥BC tại I

b: ΔAIB=ΔAIC

=>IB=IC

=>I là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

AI,CM là các đường trung tuyến

AI cắt CM tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔBAC

=>BG là đường trung tuyến của ΔABC

a: Xét ΔAIB và ΔAIC có

AB=AC

\(\hat{BAI}=\hat{CAI}\)

AI chung

Do đó: ΔAIB=ΔAIC

=>\(\hat{AIB}=\hat{AIC}\)

mà \(\hat{AIB}+\hat{AIC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AIB}=\hat{AIC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>AI⊥BC tại I

b:

ΔAIB=ΔAIC

=>IB=IC

=>I là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

AI,CM là các đường trung tuyến

AI cắt CM tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>BG là đường trung tuyến của ΔABC

Xét ΔAMB và ΔEMC có

MA=ME

\(\widehat{AMB}=\widehat{EMC}\)

MB=MC

Do đó: ΔAMB=ΔEMC

Xét ΔABM và ΔECM có:

BM = CM (do M là trung điểm của BC)

^AMB = ^EMC (2 góc đối đỉnh)

AM = EM (giả thiết)

=> ΔABM = ΔECm (c.g.c)

AM vuông góc với DE chứ.

\(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right);\overrightarrow{DE}=\left(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{DE}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left[AB.AE.cos\left(\widehat{BAC}+90^o\right)-AC.AD.cos\left(\widehat{BAC}+90^o\right)-AB.AD.cos90^o+AC.AE.cos90^o\right]\)

\(=0\)

\(\Rightarrow AM\perp DE\)

a) Xét ΔAMB và ΔNMC có 

MA=MN(gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{NMC}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC(M là trung điểm của BC)

Do đó: ΔAMB=ΔNMC(c-g-c)

b) Ta có: ΔAMB=ΔNMC(cmt)

nên \(\widehat{ABM}=\widehat{NCM}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{ABC}=\widehat{BCN}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//NC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

mà CD⊥AB(gt)

nên CD⊥CN

hay \(\widehat{DCN}=90^0\)

c) Xét ΔABH vuông tại H và ΔIBH vuông tại H có 

BH chung

HA=HI(gt)

Do đó: ΔABH=ΔIBH(hai cạnh góc vuông)

Suy ra: AB=IB(hai cạnh tương ứng)

mà AB=CN(ΔAMB=ΔNMC)

nên IB=CN(đpcm)

Bạn tự vẽ hình nha

a.

Xét tam giác ABM và tam giác NCM có:

AM = NM (M là trung điểm của AN)

AMB = NMC (2 góc đối đỉnh)

MB = MC (M là trung điểm của BC)

=> Tam giác ABM = Tam giác NCM (c.g.c)

b.

ABM = NCM (tam giác ABM = tam giác NCM)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AB // CN

mà AB _I_ CD 

=> CD _I_ CN

=> DCN = 90⁰

Chúc bạn học tốt