a: BC=BH+CH

=2+8

=10(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH=\sqrt{2\cdot8}=4\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{2\cdot10}=2\sqrt{5}\left(cm\right)\\AC=\sqrt{8\cdot10}=4\sqrt{5}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>DE=AH

c: ΔHDB vuông tại D 

mà DM là đường trung tuyến

nên DM=HM=MB

\(\widehat{EDM}=\widehat{EDH}+\widehat{MDH}\)

\(=\widehat{EAH}+\widehat{MHD}\)

\(=90^0-\widehat{C}+\widehat{C}=90^0\)

=>DE vuông góc DM

Sau gần một buổi trưa lăn lội với Thales, đồng dạng ở câu b thì t đã nghĩ đến cách của lớp 7 ~ ai dè làm được ^^

vaidaibangioithe))):

a: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AD\cdot AC\)

a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

b: ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{EDH}=\hat{EAH}\)

mà \(\hat{EAH}=\hat{B}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)

nên \(\hat{EDH}=\hat{B}\)

Ta có: ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{DEH}=\hat{DAH}\)

mà \(\hat{DAH}=\hat{C}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)

nên \(\hat{DEH}=\hat{C}\)

Ta có: \(\hat{EDH}+\hat{MDH}=\hat{MDE}\)

=>\(\hat{MDH}+\hat{B}=90^0\)

mà \(\hat{B}+\hat{MHD}=90^0\) (ΔHDB vuông tại D)

nên \(\hat{MDH}=\hat{MHD}\)

=>MD=MH

Ta có: \(\hat{MDH}+\hat{MDB}=\hat{HDB}=90^0\)

\(\hat{MHD}+\hat{MBD}=90^0\) (ΔHDB vuông tại D)

mà \(\hat{MDH}=\hat{MHD}\) (ΔMDH cân tại M)

nên \(\hat{MDB}=\hat{MBD}\)

=>MD=MB

mà MD=MH

nên MB=MH

=>M là trung điểm của BH

Ta có: \(\hat{NEH}+\hat{NEC}=\hat{CEH}=90^0\)

\(\hat{NEH}+\hat{DEH}=\hat{NED}=90^0\)

Do đó: \(\hat{NEC}=\hat{DEH}\)

mà \(\hat{DEH}=\hat{DAH}=\hat{HAB}\) (ADHE là hình chữ nhật)

và \(\hat{HAB}=\hat{NCE}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)

nên \(\hat{NEC}=\hat{NCE}\)

=>NE=NC

Ta có: \(\hat{NEH}+\hat{NEC}=\hat{CEH}=90^0\)

\(\hat{NCE}+\hat{NHE}=90^0\) (ΔCEH vuông tại E)

mà \(\hat{NEC}=\hat{NCE}\)

nên \(\hat{NEH}=\hat{NHE}\)

=>ΔNEH cân tại N

=>NE=NH

mà NE=NC

nên NH=NC

=>N là trung điểm của HC

c: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=4\cdot9=36\)

=>AH=6(cm)

Diện tích hình thang DMNE là:

\(S_{DMNE}=\frac12\cdot\left(DM+NE\right)\cdot DE=\frac12\cdot AH\cdot\left(\frac12BH+\frac12CH\right)\)

\(=\frac14\cdot AH\cdot\left(BH+CH\right)=\frac14\cdot6\cdot\left(4+9\right)=\frac32\cdot13=\frac{39}{2}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

a: \(CB=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

AD là phân giác

=>BD/AB=CD/AC

=>BD/3=CD/4=(BD+CD)/(3+4)=10/7

=>BD=30/7cm; CD=40/7cm

b: \(AH=\dfrac{6\cdot8}{10}=4.8\left(cm\right)\)

Bài 2:

a: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC và AH là phân giác của góc BAC

Xét ΔABC có

M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>MN là đường trung bình của ΔABC

=>MN//BC và \(MN=\frac{BC}{2}=\frac82=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét tứ giác AHCK có

N là trung điểm chung của AC và HK

=>AHCK là hình bình hành

Hình bình hành AHCK có \(\hat{AHC}=90^0\)

nên AHCK là hình chữ nhật

c: ΔAHC vuông tại H

mà HN là đường trung tuyến

nên NA=NH=NC

D đối xứng N qua BC

=>D đối xứng N qua HC

=>HC là đường trung trực của DN

=>HD=HN; CD=CN

mà NA=NH=NC

nên HD=HN=NC=CD

=>HNCD là hình thoi

Hình thoi HNCD trở thành hình vuông khi \(\hat{HNC}=90^0\)

=>HN⊥AC

Xét ΔABC có

H là trung điểm của CB

N là trung điểm của CA

Do đó: HN là đường trung bình của ΔABC

=>HN//AB

=>AB⊥ AC

BÀi 1:

a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

b: ΔAHD vuông tại H

=>\(AH^2+HD^2=AD^2\)

=>\(HD^2=10^2-8^2=36=6^2\)

=>HD=6(cm)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(S_{ADHE}=AD\cdot DH=6\cdot8=48\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

c: Hình chữ nhật ADHE trở thành hình vuông khi AH là phân giác của góc DAE

=>AH là phân giác của góc BAC

Xét ΔABC có

AH là đường cao

AH là đường trung tuyến

Do đó ΔABC cân tại A

=>AB=AC

A B C D E H

a) Tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao nên AH đồng thời là đường trung tuyến

=>  HB = HC

Xét 2 tgiac vuông:  tam giác ABH và tam giác ACH có:

  AB = AC  (gt) 

  HB = HC  (cmt)

suy ra:  tam giác ABH = tam giác ACH    (ch_cgv)

=>  góc BAH = góc CAH 

2)  HB = HC = 1/2 BC = 4cm

Áp dụng Pytago ta có:

     AH² + HB² = AB²  

=>  AH² = AB² - HB² = 9

=> AH = 3

3)  Xét 2 tam giác vuông:  tam giác HDB và tam giác HEC có:

     BH = CH  (cmt)

     góc DBH = góc ECH  (gt)

suy ra: tam giác HDB = tam giác HEC  (ch_gn)

=>  HD = HE

=> tam giác HDE cân tại H

ai giúp với