Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CA; D, E, F lần lượt là trung điêm của các đoạn HA, HB, HC
a) Chứng minh MNFD tứ giác và MNFD là các chữ nhật
b) Với điều kiện nào của tam giác ABC thì MD=ME=DP
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
21 tháng 6
a: Xét ΔHAC có
D,F lần lượt là trung điểm của HA,HC
=>DF là đường trung bình của ΔHAC
=>DF//AC và \(DF=\frac{AC}{2}\)
Xét ΔBAC có
M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC
=>MN là đường trung bình cua ΔBAC
=>MN//AC và \(MN=\frac{AC}{2}\)
Xét ΔHAB có
M,D lần lượt là trung điểm của AB,AH
=>MDlà đường trung bình của ΔHAB
=>MD//HB
mà HB⊥AC
nên MD⊥AC
Ta có: MN//AC
DF//AC
Do đó; MN//DF
Ta có: \(MN=\frac{AC}{2}\)
\(DF=\frac{AC}{2}\)
Do đó: MN=DF
Ta có: MN//AC
MD⊥AC
Do đó: MN⊥MD
Xét tứ giác MNFD có
MN//FD
MN=FD
Do đó: MNFD là hình bình hành
Hình bình hành MNFD có MD⊥MN
nên MNFD là hình chữ nhật
Xét ΔBAC có
M,P lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>MP là đường trung bình của ΔBAC
=>MP//BC và \(MP=\frac{BC}{2}\)
Xét ΔHBC có
E,F lần lượt là trung điểm của HB,HC
=>EF là đường trung bình của ΔHBC
=>EF//BC và \(EF=\frac{BC}{2}\)
Xét ΔBAH có
M,E lần lượt là trung điểm của BA,BH
=>ME là đường trung bình của ΔBAH
=>ME//AH
ME//AH
AH⊥BC
Do đó: ME⊥BC
EF//BC
MP//BC
Do đó: MP//EF
\(MP=\frac{BC}{2}\)
\(EF=\frac{BC}{2}\)
Do đó: MP=EF
MP//BC
ME⊥BC
Do đó: MP⊥ME
Xét tứ giác MPFE có
MP//FE
MP=FE
Do đó: MPFE là hình bình hành
Hình bình hành MPFE có MP⊥ME
nên MPFE là hình chữ nhật
b: MD=ME=MP
=>2MD=2ME=2MP
=>AH=HB=HC
=>H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
mà H đã là trực tâm của ΔABC
nên ΔABC đều
12 tháng 11 2021
Dễ thấy MN là đường trung bình của tam giác ABC
Do đó MN//AC và MN=1/2.AC
Tương tự: DF là đtb của tam giác AHC. Suy ra DF//AC,DF=1/2.AC
Mặt khác: góc MDH+góc CDH=góc BHC+góc HAC=90^0
Do đó tứ giác MNFD là hcn.
chứng minh tương tự ta cũng sẽ có:MEFP là hcn.
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
25 tháng 4
a: Xét ΔHAB có
M,D lần lượt là trung điểm của AB,AH
=>MD là đường trung bình cua ΔHAB
=>MD//AB và \(MD=\frac{AB}{2}\)
Xét ΔHBC có
N,F lần lượt là trung điểm của CB,CH
=>NF là đường trung bình của ΔHCB
=>NF//HB và \(NF=\frac{HB}{2}\)
Xét ΔHAC có
D,F lần lượt là trung điểm của HA,HC
=>DF là đường trung bình của ΔHAC
=>DF//AC và \(DF=\frac{AC}{2}\)
MD//BH
NF//BH
Do đó: MD//NF
\(MD=\frac{BH}{2}\)
\(NF=\frac{BH}{2}\)
Do đó: MD=NF
DF//AC
AC⊥BH
Do đó: DF⊥BH
DF⊥BH
MD//BH
Do đó; MD⊥DF
Xét tứ giác MDFN có
MD//FN
MD=FN
Do đó: MDFN là hình bình hành
Hình bình hành MDFN có MD⊥ DF
nên MDFN là hình chữ nhật
Xét ΔBAH có
M,E lần lượt là trung điểm của BA,BH
=>ME là đường trung bình của ΔBAH
=>ME//AH và \(ME=\frac{AH}{2}\)
Xét ΔAHC có
P,F lần lượt là trung điểm của CA,CH
=>PF là đường trung bình của ΔAHC
=>PF//AH và \(PF=\frac{AH}{2}\)
Xét ΔABC có
M,P lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>MP là đường trung bình của ΔABC
=>MP//BC và \(MP=\frac{BC}{2}\)
ME//AH
PF//AH
Do đó: ME//PF
\(ME=\frac{AH}{2}\)
\(PF=\frac{AH}{2}\)
Do đó: ME=PF
MP//BC
BC⊥AH
Do đó: MP⊥AH
MP⊥AH
ME//AH
Do đó: ME⊥MP
Xét tứ giác MEFP có
ME//FP
ME=FP
Do đó: MEFP là hình bình hành
Hình bình hành MEFP có ME⊥MP
nên MEFP là hình chữ nhật
b: \(MD=\frac{BH}{2}\)
\(ME=\frac{AH}{2}\)
\(DP=\frac{HC}{2}\)
mà MD=ME=DP
nên BH=AH=HC
=>H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
mà H là trực tâm của ΔABC
nên ΔABC đều
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
8 tháng 6
a: H là trực tâm của ΔABC
=>CH⊥AB; BH⊥AC; AH⊥BC
Xét ΔCAB có
A',B' lần lượt là trung điểm của CB,CA
=>A'B' là đường trung bình của ΔCAB
=>A'B'//AB và \(A^{\prime}B^{\prime}=\frac{AB}{2}\)
Xét ΔHAB có
M,N lần lượt là trung điểm của HA,HB
=>MN là đường trung bình của ΔHAB
=>MN//AB và \(MN=\frac{AB}{2}\)
Xét ΔHAC có
M,B' lần lượt là trung điểm của AH,AC
=>MB' là đường trung bình cua ΔHAC
=>MB'//CH và \(MB^{\prime}=\frac{CH}{2}\)
MB'//CH
CH⊥AB
Do đó: MB'⊥BA
MB'⊥BA
BA//A'B'
Do đó: MB'⊥A'B'
TA có: MN//BA
A'B'//AB
Do đó: MN//A'B'
Ta có: \(MN=\frac{BA}{2}\)
\(A^{\prime}B^{\prime}=\frac{AB}{2}\)
Do đó; MN=A'B'
Xét tứ giác A'B'MN có
A'B'=MN
A'B'//MN
Do đó; A'B'MN là hình bình hành
Hình bình hành A'B'MN có MB'⊥A'B'
nên A'B'MN là hình chữ nhật
b: Xét ΔABC có
C',B' lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>C'B' là đường trung bình của ΔABC
=>C'B'//CB và \(C^{\prime}B^{\prime}=\frac{CB}{2}\)
Xét ΔHBC có
N,P lần lượt là trung điểm của HB,HC
=>NP là đường trung bình của ΔHBC
=>NP//BC và \(NP=\frac{BC}{2}\)
C'B'//CB
NP//BC
Do đó: C'B'//NP
Ta có: \(C^{\prime}B^{\prime}=\frac{CB}{2}\)
\(NP=\frac{BC}{2}\)
Do đó: C'B'=NP
Xét tứ giác C'B'PN có
C'B'=PN
C'B'//PN
Do đó: C'B'PN là hình bình hành
=>PC' cắt NB' tại trung điểm của mỗi đường(1)
MB'A'N là hình chữ nhật
=>MA' cắt B'N tại trung điểm của mỗi đường(2)
Từ (1),(2) suy ra MA',NB',PC' đồng quy
KT
27 tháng 9 2018
Dễ thấy MN là đường trung bình của tam giác ABC
Do đó MN//AC và MN=1/2.AC
Tương tự: DF là đtb của tam giác AHC. Suy ra DF//AC,DF=1/2.AC
Mặt khác: góc MDH+góc CDH=góc BHC+góc HAC=90^0
Do đó tứ giác MNFD là hcn.
chứng minh tương tự ta cũng sẽ có:MEFP là hcn.
P/s: Do mới xài nên chả biết up cái ảnh ở đâu nên bạn tự vẽ hình nhé
30 tháng 5 2021
Gọi AD,BE,CF lần lượt là đường cao cảu tam giác ABC,mà H là trực tâm của tam giác ABC nên AD,BE,CF đồng quy tại H
Ta có:\(\widehat{HAM}=90^0-\widehat{AHE}=90^0-\widehat{BHD}=\widehat{KBH}\)
Ta lại có:\(\widehat{AHM}=90^0-\widehat{KHD}=\widehat{BKH}\)
Xét \(\Delta AHM\&\Delta BKH\)có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{HAM}=\widehat{KBH}\\\widehat{AHM}=\widehat{BKH}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Delta HAM\)đồng dạng với \(\Delta BKH\left(g.g\right)\)(mk ko bt kí hiệu đồng dạng trong olm)
\(\Rightarrow\frac{AH}{BK}=\frac{HM}{HK}\)
\(CMTT:\Rightarrow\frac{AH}{KC}=\frac{HN}{HK}\)
Mà BK=KC\(\Rightarrow\frac{HM}{HK}=\frac{HN}{HK}\Rightarrow HM=HN\)
Suy ra HK là đường trung tuyến của tam giác NMK,mà HK cũng là đường cao của tam giác NMK
Suy ra tam giác NMK cân tại K(đpcm)