Dễ thấy MN là đường trung bình của tam giác ABC 

Do đó MN//AC và MN=1/2.AC

Tương tự: DF là đtb của tam giác AHC. Suy ra DF//AC,DF=1/2.AC

Mặt khác: góc MDH+góc CDH=góc BHC+góc HAC=90^0

Do đó tứ giác MNFD là hcn.

chứng minh tương tự ta cũng sẽ có:MEFP là hcn.

a: Xét ΔHAB có

M,D lần lượt là trung điểm của AB,AH

=>MD là đường trung bình cua ΔHAB

=>MD//AB và \(MD=\frac{AB}{2}\)

Xét ΔHBC có

N,F lần lượt là trung điểm của CB,CH

=>NF là đường trung bình của ΔHCB

=>NF//HB và \(NF=\frac{HB}{2}\)

Xét ΔHAC có

D,F lần lượt là trung điểm của HA,HC

=>DF là đường trung bình của ΔHAC

=>DF//AC và \(DF=\frac{AC}{2}\)

MD//BH

NF//BH

Do đó: MD//NF

\(MD=\frac{BH}{2}\)

\(NF=\frac{BH}{2}\)

Do đó: MD=NF

DF//AC

AC⊥BH

Do đó: DF⊥BH

DF⊥BH

MD//BH

Do đó; MD⊥DF

Xét tứ giác MDFN có

MD//FN

MD=FN

Do đó: MDFN là hình bình hành

Hình bình hành MDFN có MD⊥ DF

nên MDFN là hình chữ nhật

Xét ΔBAH có

M,E lần lượt là trung điểm của BA,BH

=>ME là đường trung bình của ΔBAH

=>ME//AH và \(ME=\frac{AH}{2}\)

Xét ΔAHC có

P,F lần lượt là trung điểm của CA,CH

=>PF là đường trung bình của ΔAHC

=>PF//AH và \(PF=\frac{AH}{2}\)

Xét ΔABC có

M,P lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>MP là đường trung bình của ΔABC

=>MP//BC và \(MP=\frac{BC}{2}\)

ME//AH

PF//AH

Do đó: ME//PF

\(ME=\frac{AH}{2}\)

\(PF=\frac{AH}{2}\)

Do đó: ME=PF

MP//BC

BC⊥AH

Do đó: MP⊥AH

MP⊥AH

ME//AH

Do đó: ME⊥MP

Xét tứ giác MEFP có

ME//FP

ME=FP

Do đó: MEFP là hình bình hành

Hình bình hành MEFP có ME⊥MP

nên MEFP là hình chữ nhật

b: \(MD=\frac{BH}{2}\)

\(ME=\frac{AH}{2}\)

\(DP=\frac{HC}{2}\)

mà MD=ME=DP

nên BH=AH=HC

=>H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

mà H là trực tâm của ΔABC

nên ΔABC đều

Dễ thấy MN là đường trung bình của tam giác ABC 

Do đó MN//AC và MN=1/2.AC

Tương tự: DF là đtb của tam giác AHC. Suy ra DF//AC,DF=1/2.AC

Mặt khác: góc MDH+góc CDH=góc BHC+góc HAC=90^0

Do đó tứ giác MNFD là hcn.

chứng minh tương tự ta cũng sẽ có:MEFP là hcn.

P/s: Do mới xài nên chả biết up cái ảnh ở đâu nên bạn tự vẽ hình nhé 

Gọi AD,BE,CF lần lượt là đường cao cảu tam giác ABC,mà H là trực tâm của tam giác ABC nên AD,BE,CF đồng quy tại H

Ta có:\(\widehat{HAM}=90^0-\widehat{AHE}=90^0-\widehat{BHD}=\widehat{KBH}\)

Ta lại có:\(\widehat{AHM}=90^0-\widehat{KHD}=\widehat{BKH}\)

Xét \(\Delta AHM\&\Delta BKH\)có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{HAM}=\widehat{KBH}\\\widehat{AHM}=\widehat{BKH}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta HAM\)đồng dạng với \(\Delta BKH\left(g.g\right)\)(mk ko bt kí hiệu đồng dạng trong olm)

\(\Rightarrow\frac{AH}{BK}=\frac{HM}{HK}\)

\(CMTT:\Rightarrow\frac{AH}{KC}=\frac{HN}{HK}\)

Mà BK=KC\(\Rightarrow\frac{HM}{HK}=\frac{HN}{HK}\Rightarrow HM=HN\)

Suy ra HK là đường trung tuyến của tam giác NMK,mà HK cũng là đường cao của tam giác NMK

Suy ra tam giác NMK cân tại K(đpcm)

Khi đó ❓